歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
直径 120 mm のプーリが 960 rpm で回り、滑り 3 % のベルトで直径 500 mm のプーリを駆動します。従動プーリの回転速度 n2 を求めなさい。
n1 = 960 rpmd1 = 120 mmd2 = 500 mms = 3 %
n2 = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、1450 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 15）が歯車 B（歯数 18）を駆動する。歯車 C（歯数 18）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 24）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 1450 rpmA = 15B = 18C = 18D = 24
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
鋼製の中空軸（外径 80 mm、内径 60 mm、長さ 1.2 m）が一端で固定され、他端でトルク 2000 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 2000 N·mdo = 80 mmdi = 60 mmL = 1.2 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 500 rpm で 100 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 100 kWN = 500 rpmdo = 75 mmdi = 60 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 70 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 70 MPaσy = −60 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 120 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 25° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 120 MPaσy = 20 MPaτxy = 60 MPaθ = 25°
τθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa）が、銅 でできた管（外径 120 mm、内径 50 mm、E = 120 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 800 mm で、剛な板の間で 200 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 200 kN棒: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 800 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 30 kN区間 1：Ø40 mm、1.5 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø16 mm、2 m、鋼（E = 200 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
8 kg の質量が、ばね定数 100 kN/m のばねと、減衰係数 140 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 8 kgk = 100 kN/mc = 140 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
20 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 80 kN/m、下のばねは k₂ = 10 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 20 kgk1 = 80 kN/mk2 = 10 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: n2 = 223.5 rpm
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
滑りなしの回転速度
960·120/500 = 230.4 rpm
滑りあり
n2 = 230.4·0.97 = 223.5 rpm
答え
n2 = 223.5 rpm
2.歯車と歯車列
答え: nout = 906.3 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 1450·15/18 = 1208 rpm = nC
第 2 段
nout = 1208·18/24 = 906.3 rpm
答え
nout = 906.3 rpm
全体の速比 = 1.6 : 1
3.軸のねじり
答え: φ = 0.6253 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2.749 × 10⁶ mm⁴
ねじれ角
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·1200/(80000·2.749 × 10⁶) = 0.01091 rad
φ = 0.01091·180/π = 0.6253°
答え
φ = 0.6253°
4.軸のねじり
答え: τmax = 39.05 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 100000/52.36 = 1910 N·m
断面二次極モーメント
J = π(75⁴ − 60⁴)/32 = 1.834 × 10⁶ mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 1.91 × 10⁶·37.5/1.834 × 10⁶ = 39.05 MPa
答え
τmax = 39.05 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 12.39 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·30, 70 − −60) = 24.78°
要素上の角度
θp = 12.39°
答え
θp = 12.39°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = 0.265 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −50·0.766 + 60·0.6428 = 0.265 MPa
答え
τθ = 0.265 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.1351 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·9346 = 1.184 × 10⁹ N
縮み
δ = 200000·800/1.184 × 10⁹ = 0.1351 mm
答え
δ = 0.1351 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 149.2 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 23.87 MPa
σ2 = 149.2 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 149.2 MPa
答え
σmax = 149.2 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 28.2 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/2100² = 28199 N = 28.2 kN
答え
Pcr = 28.2 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 111 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/15 = 133.3
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133.3² = 111 MPa
答え
σcr = 111 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.07826
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(100000·8) = 1789 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 140/1789 = 0.07826
答え
ζ = 0.07826
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 3.355 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/80 + 1/10 → keq = 80·10/(80 + 10) = 8.889 kN/m
固有振動数
ωn = √(8889/20) = 21.08 rad/s
fn = 21.08/(2π) = 3.355 Hz
答え
fn = 3.355 Hz
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