歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1500 rpm で回転する 5.5 kW のモータが歯数 24 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 60 の歯車とかみ合っている。 損失は無視する。 モータ軸のトルク T1 を求めよ。
P = 5.5 kWn1 = 1500 rpmN1 = 24N2 = 60η = 100%
T1 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、2900 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 20）が歯車 B（歯数 80）を駆動する。歯車 C（歯数 16）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 72）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 2900 rpmA = 20B = 80C = 16D = 72
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
長さ 1.2 m の黄銅製の中実軸がトルク 200 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 2° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
T = 200 N·mL = 1.2 mG = 39 GPaφallow = 2°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1800 rpm で 15 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 15 kWN = 1800 rpmdo = 50 mmdi = 25 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 80 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 80 MPaσy = −30 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 40 mm の中実軸が軸圧縮力 150 kNとトルク 1500 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。
d = 40 mmF = −150 kNT = 1500 N·m
σ1 = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 120 kNd = 16 mmL = 2.5 mE = 200 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 50 kN区間 1：Ø35 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø20 mm、1 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 25 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 3 で 70 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 70 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 40 mm の 1 周期後に 18.7 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 40 mmx1 = 18.7 mmn = 1
ζ =
12.機械振動むずかしい
100 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 80 kN/m、k₂ = 30 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 100 kgk1 = 80 kN/mk2 = 30 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T1 = 35.01 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/157.1 = 35.01 N·m
答え
T1 = 35.01 N·m
2.歯車と歯車列
答え: nout = 161.1 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 2900·20/80 = 725 rpm = nC
第 2 段
nout = 725·16/72 = 161.1 rpm
答え
nout = 161.1 rpm
全体の速比 = 18 : 1
3.軸のねじり
答え: d = 36.61 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
必要な断面二次極モーメント
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 2·π/180 = 0.03491 rad
J = TL/(Gφ) = 200000·1200/(39000·0.03491) = 176295 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 36.61 mm
答え
d = 36.61 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
4.軸のねじり
答え: τmax = 3.458 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 15000/188.5 = 79.58 N·m
断面二次極モーメント
J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 79577·25/575243 = 3.458 MPa
答え
τmax = 3.458 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 23.74 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·60, 80 − −30) = 47.49°
要素上の角度
θp = 23.74°
答え
θp = 23.74°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σ1 = 73.77 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = −150000/(π·40²/4) = −150000/1257 = −119.4 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·40³) = 119.4 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = −59.68 MPa
R = √((−59.68)² + 119.4²) = 133.5 MPa
σ1 = C + R = 73.77 MPa
σ2 = C − R = −193.1 MPa
答え
σ1 = 73.77 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 2984 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 120·1000/201.1 = 596.8 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 596.8/200000 = 0.002984 = 2984 µε
答え
ε = 2984 µε
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 159.2 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 51.97 MPa
σ2 = 159.2 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 159.2 MPa
答え
σmax = 159.2 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 6.759 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1400² = 6759 N = 6.759 kN
答え
Pcr = 6.759 kN
10.柱の座屈
答え: d = 38.37 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·70000 = 210000 N
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 38.37 mm
答え
d = 38.37 mm
確認：細長比 KL/r は 104.3 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.1201
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/1)·ln(40/18.7) = 0.7604
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7604/√(39.48 + 0.5781) = 0.1201
答え
ζ = 0.1201
12.機械振動
答え: keq = 110 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 80 + 30 = 110 kN/m
答え
keq = 110 kN/m
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