機械設計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

歯車と歯車列

かみ合う歯車: n₁·N₁ = n₂·N₂
トルク: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
電力: P = T·ω, ω = 2π·n/60
複合歯車列: 全体の速比 = 各段の速比の積

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

機械振動

固有振動数: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
静たわみから: ω_n = √(g/δ_st)
臨界減衰: c_c = 2√(km) = 2mω_n
減衰比: ζ = c/c_c
減衰固有振動数: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
対数減衰率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
並列ばね: k = k₁ + k₂
直列ばね: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2演習問題

1.歯車と歯車列ふつう

1440 rpm で回転する 3 kW のモータが、歯数 16、モジュール 5 mm のピニオンを駆動する。ピニオンの歯に働く接線力 F_t を求めよ。

P = 3 kWn = 1440 rpmN₁ = 16m = 5 mm

F_t = N

2.歯車と歯車列むずかしい

平行掛けのベルトが、直径 200 mm のプーリと直径 500 mm のプーリをつなぎ、その中心は 600 mm 離れています。小さいほうのプーリへの巻き付け角 θ を度で求めなさい。

d₁ = 200 mmd₂ = 500 mmC = 600 mm

θ = °

3.軸のねじりふつう

鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 400 N·md = 20 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.軸のねじりむずかしい

直径 25 mm のアルミニウム製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 1 m、B から 1.2 m の C にトルク 750 N·m が作用する。軸の最大せん断応力 τ_max を求めよ。

d = 25 mmT₀ = 750 N·ma = 1 mb = 1.2 m

τ_max = MPa

5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 110 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = 60 MPa、σ_z = 0。その点での絶対最大せん断応力 τ_abs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。

σ_x = 110 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

直径 40 mm の中実軸が曲げモーメント 200 N·mとトルク 400 N·m を同時に受ける。曲げ応力が引張で最大となる上表面で、面内最大せん断応力 τ_max を求めよ。

d = 40 mmM = 200 N·mT = 400 N·m

τ_max = MPa

7.軸応力とひずみふつう

棒が、鋼の区間（直径 25 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウムでできた区間（直径 40 mm、長さ 500 mm、E = 70 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.3 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

8.軸応力とひずみむずかしい

鋼の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa、許容応力 200 MPa）が、銅でできた管（外径 120 mm、内径 60 mm、E = 120 GPa、許容応力 100 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 P_max を求めなさい。

棒: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.柱の座屈ふつう

アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 25 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 75 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 75 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (鋼)

d = mm

11.機械振動ふつう

150 kg の質量が、ばね定数 150 kN/m のばねと、減衰係数 950 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。

m = 150 kgk = 150 kN/mc = 950 N·s/m

ζ =

12.機械振動むずかしい

40 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 12 kN/m、k₂ = 20 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 f_n を Hz で求めよ。

m = 40 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.歯車と歯車列

答え: F_t = 497.4 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

ピニオンのトルク

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T = P/ω = 3000/150.8 = 19.89 N·m

ピッチ円直径

d = m·N = 5·16 = 80 mm

接線力

F_t = 2T/d = 2·19.89/0.08 = 497.4 N

答え

F_t = 497.4 N

2.歯車と歯車列

答え: θ = 151 °

ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = e^μθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。

ベルトの角度

asin(0.25) = 14.48°

巻き付け角

θ = 180 − 2·14.48 = 151°

答え

θ = 151°

3.軸のねじり

答え: φ = 18.24 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(80000·15708) = 0.3183 rad

φ = 0.3183·180/π = 18.24°

答え

φ = 18.24°

4.軸のねじり

答え: τ_max = 133.3 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。両端が固定されていると、静力学だけでは T_A + T_B = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。

つり合いと適合条件

T_A + T_B = 750

T_A·a = T_B·b

T_A = 750·1.2/2.2 = 409.1 N·m

T_B = 750·1/2.2 = 340.9 N·m

最大せん断応力

2 つのトルクのうち大きい方で決まります（直径が同じ場合）。

τ_max = 16·409091/(π·25³) = 133.3 MPa

答え

τ_max = 133.3 MPa

5.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_abs = 82.6 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σ_max − σ_min)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。

面内の主応力

C = 105 MPa, R = √(5² + 60²) = 60.21 MPa

σ₁ = 165.2 MPa, σ₂ = 44.79 MPa, σ_z = 0

3 つの円のうち最大のもの

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(120.4, 165.2, 44.79)/2 = 82.6 MPa

答え

τ_abs = 82.6 MPa

ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。

6.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_max = 35.59 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

表面の応力

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·40³) = 31.83 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·40³) = 31.83 MPa

モールの応力円

C = σ/2 = 15.92 MPa

R = √(15.92² + 31.83²) = 35.59 MPa

答え

τ_max = 35.59 MPa

7.軸応力とひずみ

答え: P = 34.33 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、P_i = P·E_iA_i/ΣEA、σ_i = E_i·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1257 mm²

柔軟性

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490.9) = 3.056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·1257) = 5.684 × 10⁻⁶ mm/N

荷重

P = 0.3/8.74 × 10⁻⁶ = 34325 N = 34.33 kN

答え

P = 34.33 kN

8.軸応力とひずみ

答え: P_max = 900.6 kN

面積

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·8482 = 1.081 × 10⁹ N

支配するひずみ

ε = min(0.001, 0.0008333) = 0.0008333 (銅)

最大荷重

P_max = 0.0008333·1.081 × 10⁹ = 900590 N = 900.6 kN

答え

P_max = 900.6 kN

9.柱の座屈

答え: P_cr = 3.312 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2000² = 3312 N = 3.312 kN

答え

P_cr = 3.312 kN

10.柱の座屈

答え: d = 86.4 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 2·75000 = 150000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 86.4 mm

答え

d = 86.4 mm

確認：細長比 KL/r は 277.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.機械振動

答え: ζ = 0.1001

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ω_n = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は f_n = ω_n/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/c_c で、臨界減衰係数は c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n です。不足減衰系（ζ < 1）は ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

臨界減衰

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·150) = 9487 N·s/m

減衰比

ζ = c/c_c = 950/9487 = 0.1001

答え

ζ = 0.1001

ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。

12.機械振動

答え: f_n = 4.502 Hz

等価ばね定数

並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k₁ + k₂。

k_eq = 12 + 20 = 32 kN/m

固有振動数

ω_n = √(32000/40) = 28.28 rad/s

f_n = 28.28/(2π) = 4.502 Hz

答え

f_n = 4.502 Hz

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