歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1450 rpm で回転する 7.5 kW のモータが歯数 25 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 72 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 96% である。 歯車軸の出力トルク T2 を求めよ。
P = 7.5 kWn1 = 1450 rpmN1 = 25N2 = 72η = 96%
T2 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、960 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 15）が歯車 B（歯数 16）を駆動する。歯車 C（歯数 50）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 80）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 960 rpmA = 15B = 16C = 50D = 80
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 400 N·md = 50 mmL = 2.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1450 rpm で 75 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.5 倍とし、せん断応力は 40 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 75 kWN = 1450 rpmdi/do = 0.5τallow = 40 MPa
do = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 20 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = 40 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 20 MPaσy = 110 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −40 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 420 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = −40 MPaσy = 20 MPaτxy = 30 MPaσY = 420 MPa
n =
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 75 kNd = 30 mmL = 2.5 mE = 117 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 15 kN区間 1：Ø40 mm、2 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø16 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 20 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 20 kNn = 3L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
20 kg の質量が、ばね定数 80 kN/m のばねと、減衰係数 380 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 20 kgk = 80 kN/mc = 380 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
100 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 100 kN/m、k₂ = 100 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 100 kgk1 = 100 kN/mk2 = 100 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T2 = 136.6 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/151.8 = 49.39 N·m
出力トルク
T2 = 49.39·72/25·0.96 = 136.6 N·m
答え
T2 = 136.6 N·m
2.歯車と歯車列
答え: nout = 562.5 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 960·15/16 = 900 rpm = nC
第 2 段
nout = 900·50/80 = 562.5 rpm
答え
nout = 562.5 rpm
全体の速比 = 1.707 : 1
3.軸のねじり
答え: φ = 3.591 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 400·1000·2500/(26000·613592) = 0.06268 rad
φ = 0.06268·180/π = 3.591°
答え
φ = 3.591°
4.軸のねじり
答え: do = 40.63 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 75000/151.8 = 493.9 N·m
許容応力からの外径
T = 493.9 N·m = 493929 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·493929/(π·40·0.9375)) = 40.63 mm
di = 0.5·40.63 = 20.32 mm
答え
do = 40.63 mm
中実軸なら d = 39.77 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 60.21 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((20 − 110)/2)² + 40²) = 60.21 MPa
答え
τmax = 60.21 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 4.95
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = −10 MPa, R = 42.43 MPa
σ1 = 32.43 MPa, σ2 = −52.43 MPa, σ3 = 0
トレスカ
σmax − σmin = 84.85 MPa
n = 420/84.85 = 4.95
答え
n = 4.95
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 2.267 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 75·1000/706.9 = 106.1 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 106.1/117000 = 0.0009069 = 906.9 µε
伸び
δ = ε·L = 0.0009069·2500 mm = 2.267 mm
答え
δ = 2.267 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 74.6 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 11.94 MPa
σ2 = 74.6 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 74.6 MPa
答え
σmax = 74.6 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 235 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1.042 × 10⁶/1750² = 234991 N = 235 kN
答え
Pcr = 235 kN
10.柱の座屈
答え: d = 48.25 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·20000 = 60000 N
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 48.25 mm
答え
d = 48.25 mm
確認：細長比 KL/r は 145.1 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.1502
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(80000·20) = 2530 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 380/2530 = 0.1502
答え
ζ = 0.1502
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: keq = 200 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 100 + 100 = 200 kN/m
答え
keq = 200 kN/m
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