歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2900 rpm で回転する 11 kW のモータが、歯数 30、モジュール 2 mm のピニオンを駆動する。ピニオンの歯に働く接線力 Ft を求めよ。
P = 11 kWn = 2900 rpmN1 = 30m = 2 mm
Ft = N
2.歯車と歯車列むずかしい
1440 rpm の 1.5 kW のモータが歯車 A（歯数 15）を駆動し、A は歯車 B（歯数 40）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 15）が出力軸の歯車 D（歯数 72）を駆動する。各かみ合いの効率は 96% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 1.5 kWnin = 1440 rpmA = 15B = 40C = 15D = 72ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
ねじり試験で、直径 10 mm の中実試験片をトルク 20 N·m でねじる。標点距離 250 mm の両端は互いに 7.48° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。
T = 20 N·md = 10 mmL = 250 mmφ = 7.48°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 3000 rpm で 50 kW を伝達し、せん断応力が 80 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 50 kWN = 3000 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 20 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = −10 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = 20 MPaσy = 110 MPaτxy = −10 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 50 MPa、σᵧ = −10 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 15° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 50 MPaσy = −10 MPaτxy = −10 MPaθ = 15°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける鋼製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 80 kNd = 20 mmL = 2 mE = 200 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 75 kN区間 1：Ø30 mm、1.5 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø16 mm、0.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
ばね定数 40 kN/m のばねにつながれた 12 kg の質量に、減衰比 0.35 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 12 kgk = 40 kN/mζ = 0.35
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
50 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 50 kN/m、下のばねは k₂ = 10 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 50 kgk1 = 50 kN/mk2 = 10 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: Ft = 1207 N
歯車の幾何：モジュール m が歯の大きさを決めます。歯数 N の歯車のピッチ円直径は d = m·N、かみ合う 2 つの歯車のモジュールは等しく、中心距離は a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 です。ピッチ円周速度は v = π·d·n/60 で、接線方向の歯面力はトルクから Ft = 2T/d となります。
ピニオンのトルク
ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T = P/ω = 11000/303.7 = 36.22 N·m
ピッチ円直径
d = m·N = 2·30 = 60 mm
接線力
Ft = 2T/d = 2·36.22/0.06 = 1207 N
答え
Ft = 1207 N
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 117.3 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
出力回転数
nout = 1440·(15/40)·(15/72) = 112.5 rpm
ωout = 2π·112.5/60 = 11.78 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 1500·0.96² = 1382 W
Tout = Pout/ωout = 1382/11.78 = 117.3 N·m
答え
Tout = 117.3 N·m
3.軸のねじり
答え: G = 39.01 GPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメントと角度
J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴
φ = 7.48·π/180 = 0.1306 rad
横弾性係数
T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·250/(981.7·0.1306) = 39011 MPa
G = 39.01 GPa
答え
G = 39.01 GPa
比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。
4.軸のねじり
答え: d = 21.64 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 50000/314.2 = 159.2 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·159155/(π·80)) = 21.64 mm
答え
d = 21.64 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 55.55 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = 65 MPa, R = √((−45)² + (−10)²) = 46.1 MPa
σ1 = 111.1 MPa, σ2 = 18.9 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(92.2, 111.1, 18.9)/2 = 55.55 MPa
答え
τabs = 55.55 MPa
ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 40.98 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 20 + 30·0.866 + −10·0.5 = 40.98 MPa
答え
σθ = 40.98 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 2.546 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 80·1000/314.2 = 254.6 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 254.6/200000 = 0.001273 = 1273 µε
伸び
δ = ε·L = 0.001273·2000 mm = 2.546 mm
答え
δ = 2.546 mm
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 4.256 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 106.1 MPa
σ2 = 373 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 106.1·1500/100000 = 1.592 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 373·500/70000 = 2.664 mm
δ = δ1 + δ2 = 4.256 mm
答え
δ = 4.256 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 8.478 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·5000 = 5000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8.478 kN
答え
Pcr = 8.478 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 77.11 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 1·1000 = 1000 mm
KL/r = 1000/6.25 = 160
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77.11 MPa
答え
σcr = 77.11 MPa
11.機械振動
答え: fd = 8.608 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(40000/12) = 57.74 rad/s
fn = 57.74/(2π) = 9.189 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 9.189·√(1 − 0.35²) = 8.608 Hz
答え
fd = 8.608 Hz
12.機械振動
答え: fn = 2.055 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/50 + 1/10 → keq = 50·10/(50 + 10) = 8.333 kN/m
固有振動数
ωn = √(8333/50) = 12.91 rad/s
fn = 12.91/(2π) = 2.055 Hz
答え
fn = 2.055 Hz
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