機械設計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

歯車と歯車列

かみ合う歯車: n₁·N₁ = n₂·N₂
トルク: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
電力: P = T·ω, ω = 2π·n/60
複合歯車列: 全体の速比 = 各段の速比の積

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

機械振動

固有振動数: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
静たわみから: ω_n = √(g/δ_st)
臨界減衰: c_c = 2√(km) = 2mω_n
減衰比: ζ = c/c_c
減衰固有振動数: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
対数減衰率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
並列ばね: k = k₁ + k₂
直列ばね: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2演習問題

1.歯車と歯車列ふつう

2900 rpm の 0.37 kW のモータが条数 1 のウォームを駆動する。ウォームホイールの歯数は 80、伝動効率は 80% である。ホイール軸の出力トルク T_w を求めよ。

z = 1N_w = 80n = 2900 rpmP = 0.37 kWη = 80%

T_w = N·m

2.歯車と歯車列むずかしい

複合歯車列で、入力軸の歯車 A（歯数 18）が 3000 rpm で回転し、歯車 B（歯数 72）を駆動する。歯車 C（歯数 15）は B と同じ軸に固定され、出力軸の歯車 D を駆動する。出力は 375 rpm で回転しなければならない。歯車 D の歯数 N_D はいくつ必要か。

n_in = 3000 rpmA = 18B = 72C = 15n_out = 375 rpm

N_D =

3.軸のねじりふつう

ねじり試験で、直径 20 mm の中実試験片をトルク 40 N·m でねじる。標点距離 400 mm の両端は互いに 1.5° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。

T = 40 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 1.5°

G = GPa

4.軸のねじりむずかしい

直径 25 mm の黄銅製の中実軸が A で固定されている。A から 0.8 m の B にトルク 400 N·m が作用し、さらに 0.8 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 250 N·m が作用する。軸の最大せん断応力 τ_max を求めよ。

d = 25 mmT_B = 400 N·mT_C = 250 N·mAB = 0.8 mBC = 0.8 m

τ_max = MPa

5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

ある点で σₓ = 100 MPa、σᵧ = −50 MPa、τₓᵧ = −40 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θ_s を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。

σ_x = 100 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

内径 1200 mm、肉厚 10 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 2.5 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 30° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。溶接継目を横切って作用する垂直応力 σ_n を求めよ。

D = 1200 mmt = 10 mmp = 2.5 MPaα = 30°

σ_n = MPa

7.軸応力とひずみふつう

黄銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 30 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.軸応力とひずみむずかしい

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σ_max を求めよ。

P = 110 kN区間 1：Ø25 mm、0.5 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø12 mm、1 m、銅（E = 117 GPa）

σ_max = MPa

9.柱の座屈ふつう

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 75 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 75 kNn = 2.5L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)

d = mm

11.機械振動ふつう

減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 15 mm の 3 周期後に 1.5 mm のピークが現れた。減衰比 ζ を求めよ。

x₀ = 15 mmx₃ = 1.5 mmn = 3

ζ =

12.機械振動むずかしい

50 kg の質量がばね k₃ = 15 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 12 kN/m と k₂ = 10 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 f_n を Hz で求めよ。

m = 50 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.歯車と歯車列

答え: T_w = 77.97 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

ホイールの回転速度

n_w = n·z/N_w = 2900·1/80 = 36.25 rpm

出力トルク

ω_w = 2π·36.25/60 = 3.796 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.8·370/3.796 = 77.97 N·m

答え

T_w = 77.97 N·m

2.歯車と歯車列

答え: N_D = 30

中間軸の回転速度

n_B = n_C = 3000·18/72 = 750 rpm

歯車 D の歯数

N_D = C·n_C/n_out = 15·750/375 = 30

答え

N_D = 30

3.軸のねじり

答え: G = 38.91 GPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメントと角度

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad

横弾性係数

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·400/(15708·0.02618) = 38907 MPa

G = 38.91 GPa

答え

G = 38.91 GPa

比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。

4.軸のねじり

答え: τ_max = 81.49 MPa

内部トルク

T_C の向きを正とする。

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 400 = −150 N·m

最大せん断応力

内部トルクが最大の区間で応力が最大になります（直径が同じ場合）。

|T|_max = 250 N·m

τ_max = 16·250000/(π·25³) = 81.49 MPa

答え

τ_max = 81.49 MPa

5.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θ_s = −59.04 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

円上の角度

モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。

cos 2θ_s = −40/85 = −0.4706, sin 2θ_s = −75/85 = −0.8824

2θ_s = atan2(−75, −40) = −118.1°

要素上の角度

θ_s = −59.04°

確認: θ_s − θ_p = −59.04 − (−14.04) = −45°

答え

θ_s = −59.04°

反時計回りの角度を正とします。

6.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ_n = 131.3 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σ_h = pr/t、軸方向応力 σ_a = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。

壁の応力

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 2.5·600/10 = 150 MPa

σ_a = pr/(2t) = 75 MPa

継目への座標変換

x を軸方向（σ_a）、y を周方向（σ_h）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。

σ_n = 75·sin²30° + 150·cos²30° = 131.3 MPa

答え

σ_n = 131.3 MPa

7.軸応力とひずみ

答え: ε = 954.9 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 30·1000/314.2 = 95.49 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 95.49/100000 = 0.0009549 = 954.9 µε

答え

ε = 954.9 µε

8.軸応力とひずみ

答え: σ_max = 972.6 MPa

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 224.1 MPa

σ₂ = 972.6 MPa

最大応力

細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。

σ_max = 972.6 MPa

答え

σ_max = 972.6 MPa

9.柱の座屈

答え: P_cr = 24.56 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·1500 = 3000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/3000² = 24564 N = 24.56 kN

答え

P_cr = 24.56 kN

10.柱の座屈

答え: d = 70.27 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 2.5·75000 = 187500 N

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·187500·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 70.27 mm

答え

d = 70.27 mm

確認：細長比 KL/r は 119.5 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.機械振動

答え: ζ = 0.1213

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ω_n = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は f_n = ω_n/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/c_c で、臨界減衰係数は c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n です。不足減衰系（ζ < 1）は ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

対数減衰率

δ = (1/3)·ln(15/1.5) = 0.7675

減衰比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7675/√(39.48 + 0.5891) = 0.1213

答え

ζ = 0.1213

12.機械振動

答え: f_n = 2.126 Hz

等価ばね定数

並列なのは k₁ と k₂ だけです。その組が k₃ と直列なので、逆数で合成しましょう。

k₁₂ = 12 + 10 = 22 kN/m

k_eq = 22·15/(22 + 15) = 8.919 kN/m

固有振動数

ω_n = √(8919/50) = 13.36 rad/s

f_n = 13.36/(2π) = 2.126 Hz

答え

f_n = 2.126 Hz

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