歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2 本の平行軸の間隔は 160 mm である。これらをモジュール 4 mm、減速比 3 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。 歯車の歯数 N2 はいくつ必要か。
a = 160 mmm = 4 mmi = 3
N2 =
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、960 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 15）が歯車 B（歯数 24）を駆動する。歯車 C（歯数 20）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 25）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 960 rpmA = 15B = 24C = 20D = 25
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
長さ 0.8 m の黄銅製の中実軸がトルク 250 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 1.5° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
T = 250 N·mL = 0.8 mG = 39 GPaφallow = 1.5°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
直径 30 mm の鋼製の中実軸が A で固定されている。A から 2.5 m の B にトルク 400 N·m が作用し、さらに 1 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 100 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 30 mmTB = 400 N·mTC = 100 N·mAB = 2.5 mBC = 1 m
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −50 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = 10 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = −50 MPaσy = −60 MPaτxy = 10 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −20 MPa、σᵧ = −10 MPa、τₓᵧ = −30 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 275 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = −20 MPaσy = −10 MPaτxy = −30 MPaσY = 275 MPa
n =
7.軸応力とひずみふつう
黄銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 100 kNd = 30 mmL = 2 mE = 100 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 300 mm、E = 110 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 60 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø40 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 60 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 100 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 100 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
ばね定数 50 kN/m のばねにつながれた 5 kg の質量に、減衰比 0.35 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 5 kgk = 50 kN/mζ = 0.35
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
50 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 15 kN/m、k₂ = 30 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 50 kgk1 = 15 kN/mk2 = 30 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: N2 = 60
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
歯数の合計
N1 + N2 = 2a/m = 2·160/4 = 80
比で分ける
N1 = 80/(1 + 3) = 20
N2 = 3·20 = 60
答え
N2 = 60
2.歯車と歯車列
答え: nout = 480 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 960·15/24 = 600 rpm = nC
第 2 段
nout = 600·20/25 = 480 rpm
答え
nout = 480 rpm
全体の速比 = 2 : 1
3.軸のねじり
答え: d = 37.58 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
必要な断面二次極モーメント
T = 250 N·m = 250000 N·mm
L = 0.8 m = 800 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad
J = TL/(Gφ) = 250000·800/(39000·0.02618) = 195883 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 37.58 mm
答え
d = 37.58 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
4.軸のねじり
答え: τmax = 56.59 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 100 N·m
TAB = TC − TB = 100 − 400 = −300 N·m
最大せん断応力
内部トルクが最大の区間で応力が最大になります（直径が同じ場合）。
|T|max = 300 N·m
τmax = 16·300000/(π·30³) = 56.59 MPa
答え
τmax = 56.59 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 31.72 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·10, −50 − −60) = 63.43°
要素上の角度
θp = 31.72°
答え
θp = 31.72°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 4.521
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = −15 MPa, R = 30.41 MPa
σ1 = 15.41 MPa, σ2 = −45.41 MPa, σ3 = 0
トレスカ
σmax − σmin = 60.83 MPa
n = 275/60.83 = 4.521
答え
n = 4.521
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 1415 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 100·1000/706.9 = 141.5 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 141.5/100000 = 0.001415 = 1415 µε
答え
ε = 1415 µε
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 25.01 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm
k₂ = 110000·1257/300 = 460767 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 60000·460767/879646 = 31429 N
応力
σ2 = 31429/1257 = 25.01 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 25.01 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 3.655 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·6000 = 12000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/12000² = 3655 N = 3.655 kN
答え
Pcr = 3.655 kN
10.柱の座屈
答え: d = 69.42 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·100000 = 250000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 69.42 mm
答え
d = 69.42 mm
確認：細長比 KL/r は 172.9 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: fd = 14.91 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(50000/5) = 100 rad/s
fn = 100/(2π) = 15.92 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 15.92·√(1 − 0.35²) = 14.91 Hz
答え
fd = 14.91 Hz
12.機械振動
答え: fn = 4.775 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 15 + 30 = 45 kN/m
固有振動数
ωn = √(45000/50) = 30 rad/s
fn = 30/(2π) = 4.775 Hz
答え
fn = 4.775 Hz
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