歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1440 rpm で回転する 1.1 kW のモータが歯数 30 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 45 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 98% である。 歯車軸の出力トルク T2 を求めよ。
P = 1.1 kWn1 = 1440 rpmN1 = 30N2 = 45η = 98%
T2 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
1450 rpm の 1.5 kW のモータが歯車 A（歯数 15）を駆動し、A は歯車 B（歯数 24）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 15）が出力軸の歯車 D（歯数 50）を駆動する。各かみ合いの効率は 98% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 1.5 kWnin = 1450 rpmA = 15B = 24C = 15D = 50ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 200 N·md = 50 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 30 mm の黄銅製の中実軸が A で固定されている。A から 3 m の B にトルク 250 N·m が作用し、さらに 1.2 m 先の自由端 C に同じ向きのトルク 500 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 30 mmTB = 250 N·mTC = 500 N·mAB = 3 mBC = 1.2 m
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 100 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 100 MPaσy = 60 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 80 MPa、σᵧ = 80 MPa、τₓᵧ = 40 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 40° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 80 MPaσy = 80 MPaτxy = 40 MPaθ = 40°
τθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、アルミニウム でできた管（外径 120 mm、内径 70 mm、E = 70 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 300 mm で、剛な板の間で 300 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 300 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 60 kN区間 1：Ø35 mm、0.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø12 mm、2 m、鋼（E = 200 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 65 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 65 kNn = 2L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
5 kg の質量が、ばね定数 150 kN/m のばねと、減衰係数 260 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 5 kgk = 150 kN/mc = 260 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
100 kg の質量がばね k₃ = 30 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 20 kN/m と k₂ = 5 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 100 kgk1 = 20 kN/mk2 = 5 kN/mk3 = 30 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T2 = 10.72 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/150.8 = 7.295 N·m
出力トルク
T2 = 7.295·45/30·0.98 = 10.72 N·m
答え
T2 = 10.72 N·m
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 50.6 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
出力回転数
nout = 1450·(15/24)·(15/50) = 271.9 rpm
ωout = 2π·271.9/60 = 28.47 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 1500·0.98² = 1441 W
Tout = Pout/ωout = 1441/28.47 = 50.6 N·m
答え
Tout = 50.6 N·m
3.軸のねじり
答え: φ = 1.437 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(26000·613592) = 0.02507 rad
φ = 0.02507·180/π = 1.437°
答え
φ = 1.437°
4.軸のねじり
答え: τmax = 141.5 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 500 N·m
TAB = TC + TB = 500 + 250 = 750 N·m
最大せん断応力
内部トルクが最大の区間で応力が最大になります（直径が同じ場合）。
|T|max = 750 N·m
τmax = 16·750000/(π·30³) = 141.5 MPa
答え
τmax = 141.5 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 35.78 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·60, 100 − 60) = 71.57°
要素上の角度
θp = 35.78°
答え
θp = 35.78°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = 6.946 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −0·0.9848 + 40·0.1736 = 6.946 MPa
答え
τθ = 6.946 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.1451 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·7461 = 6.205 × 10⁸ N
縮み
δ = 300000·300/6.205 × 10⁸ = 0.1451 mm
答え
δ = 0.1451 mm
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 5.751 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 62.36 MPa
σ2 = 530.5 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 62.36·500/70000 = 0.4454 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 530.5·2000/200000 = 5.305 mm
δ = δ1 + δ2 = 5.751 mm
答え
δ = 5.751 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 347.3 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1000 = 2000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/2000² = 347270 N = 347.3 kN
答え
Pcr = 347.3 kN
10.柱の座屈
答え: d = 58.53 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·65000 = 130000 N
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 58.53 mm
答え
d = 58.53 mm
確認：細長比 KL/r は 119.6 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.1501
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(150000·5) = 1732 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 260/1732 = 0.1501
答え
ζ = 0.1501
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 1.859 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 20 + 5 = 25 kN/m
keq = 25·30/(25 + 30) = 13.64 kN/m
固有振動数
ωn = √(13636/100) = 11.68 rad/s
fn = 11.68/(2π) = 1.859 Hz
答え
fn = 1.859 Hz
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