歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
ベルトが、直径 120 mm の駆動プーリ上を 1440 rpm で走っています。張力は張り側で 1000 N、緩み側で 400 N です。伝達される動力 P を kW で求めなさい。
d1 = 120 mmn1 = 1440 rpmT1 = 1000 NT2 = 400 N
P = kW
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、200 rpm の直径 960 mm の駆動プーリと直径 450 mm のプーリをつなぎ、中心は 1200 mm 離れています。摩擦係数は 0.35 で、張り側の張力は 1200 N を超えてはなりません。ベルトが滑らずに伝達できる最大動力 P を kW で求めなさい（遠心力の影響は無視します）。
d1 = 200 mmn1 = 960 rpmd2 = 450 mmC = 1200 mmμ = 0.35T1 = 1200 N
P = kW
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 200 N·md = 50 mmL = 2.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1000 rpm で 5 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.7 倍とし、せん断応力は 60 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 5 kWN = 1000 rpmdi/do = 0.7τallow = 60 MPa
do = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 80 MPa、σᵧ = −80 MPa、τₓᵧ = −40 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 80 MPaσy = −80 MPaτxy = −40 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 25 mm の中実軸が軸圧縮力 10 kNとトルク 250 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。
d = 25 mmF = −10 kNT = 250 N·m
σ1 = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 20 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 50 mm、長さ 300 mm、E = 110 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.2 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø50 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 75 kN区間 1：Ø30 mm、1 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø16 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 30 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
50 kg の質量が、ばね定数 150 kN/m のばねと、減衰係数 1100 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 50 kgk = 150 kN/mc = 1100 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
20 kg の質量がばね k₃ = 25 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 20 kN/m と k₂ = 12 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 20 kgk1 = 20 kN/mk2 = 12 kN/mk3 = 25 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: P = 5.429 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの速さ
v = 9.048 m/s
電力
P = (1000 − 400)·9.048 = 5429 W = 5.429 kW
答え
P = 5.429 kW
2.歯車と歯車列
答え: P = 7.742 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
巻き付け角
θ = 2.933 rad
緩み側の張力
eμθ = e1.027 = 2.791, T₂ = 1200/2.791 = 429.9 N
電力
P = (1200 − 429.9)·10.05 = 7.742 kW
答え
P = 7.742 kW
3.軸のねじり
答え: φ = 1.796 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(26000·613592) = 0.03134 rad
φ = 0.03134·180/π = 1.796°
答え
φ = 1.796°
4.軸のねじり
答え: do = 17.47 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 5000/104.7 = 47.75 N·m
許容応力からの外径
T = 47.75 N·m = 47746 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·47746/(π·60·0.7599)) = 17.47 mm
di = 0.7·17.47 = 12.23 mm
答え
do = 17.47 mm
中実軸なら d = 15.94 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = −13.28 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·−40, 80 − −80) = −26.57°
要素上の角度
θp = −13.28°
答え
θp = −13.28°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σ1 = 71.94 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = −10000/(π·25²/4) = −10000/490.9 = −20.37 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·25³) = 81.49 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = −10.19 MPa
R = √((−10.19)² + 81.49²) = 82.12 MPa
σ1 = C + R = 71.94 MPa
σ2 = C − R = −92.31 MPa
答え
σ1 = 71.94 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 32.45 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 1963 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314.2) = 4.775 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·1963) = 1.389 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.2/6.164 × 10⁻⁶ = 32448 N = 32.45 kN
答え
P = 32.45 kN
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 2.926 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 106.1 MPa
σ2 = 373 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 106.1·1000/100000 = 1.061 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 373·1000/200000 = 1.865 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.926 mm
答え
δ = 2.926 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 32.13 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·4000 = 8000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1.042 × 10⁶/8000² = 32128 N = 32.13 kN
答え
Pcr = 32.13 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 3.172 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/7.5 = 466.7
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/466.7² = 3.172 MPa
答え
σcr = 3.172 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.2008
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(150000·50) = 5477 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 1100/5477 = 0.2008
答え
ζ = 0.2008
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 4.216 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 20 + 12 = 32 kN/m
keq = 32·25/(32 + 25) = 14.04 kN/m
固有振動数
ωn = √(14035/20) = 26.49 rad/s
fn = 26.49/(2π) = 4.216 Hz
答え
fn = 4.216 Hz
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