歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2900 rpm で回転する 4 kW のモータが、歯数 24、モジュール 3 mm のピニオンを駆動する。ピニオンの歯に働く接線力 Ft を求めよ。
P = 4 kWn = 2900 rpmN1 = 24m = 3 mm
Ft = N
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、1500 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 36）が歯車 B（歯数 48）を駆動する。歯車 C（歯数 16）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 72）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 1500 rpmA = 36B = 48C = 16D = 72
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
ねじり試験で、直径 20 mm の中実試験片をトルク 30 N·m でねじる。標点距離 400 mm の両端は互いに 1.12° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。
T = 30 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 1.12°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 300 rpm で 15 kW を伝達し、せん断応力が 50 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 15 kWN = 300 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 80 MPa、σᵧ = 40 MPa である。最大主応力が 110 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = 80 MPaσy = 40 MPaσ1 = 110 MPa
τxy = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −20 MPa、σᵧ = −80 MPa、τₓᵧ = 40 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 300 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = −20 MPaσy = −80 MPaτxy = 40 MPaσY = 300 MPa
n =
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 60 mm、長さ 200 mm、E = 70 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.4 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø60 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 110 kN区間 1：Ø25 mm、2 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø16 mm、1.5 m、銅（E = 117 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2 で 10 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 10 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
ばね定数 100 kN/m のばねにつながれた 50 kg の質量に、減衰比 0.3 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 50 kgk = 100 kN/mζ = 0.3
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
50 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 50 kN/m、下のばねは k₂ = 10 kN/m である。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 50 kgk1 = 50 kN/mk2 = 10 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: Ft = 365.9 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
ピニオンのトルク
ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T = P/ω = 4000/303.7 = 13.17 N·m
ピッチ円直径
d = m·N = 3·24 = 72 mm
接線力
Ft = 2T/d = 2·13.17/0.072 = 365.9 N
答え
Ft = 365.9 N
2.歯車と歯車列
答え: nout = 250 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 1500·36/48 = 1125 rpm = nC
第 2 段
nout = 1125·16/72 = 250 rpm
答え
nout = 250 rpm
全体の速比 = 6 : 1
3.軸のねじり
答え: G = 39.08 GPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメントと角度
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 1.12·π/180 = 0.01955 rad
横弾性係数
T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·400/(15708·0.01955) = 39081 MPa
G = 39.08 GPa
答え
G = 39.08 GPa
比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。
4.軸のねじり
答え: d = 36.5 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 15000/31.42 = 477.5 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·477465/(π·50)) = 36.5 mm
答え
d = 36.5 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 45.83 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (80 + 40)/2 = 60 MPa
R = σ1 − C = 110 − 60 = 50 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 20²) = 45.83 MPa
答え
τxy = 45.83 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 3
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = −50 MPa, R = 50 MPa
σ1 = 0 MPa, σ2 = −100 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(0² − 0·(−100) + (−100)²) = 100 MPa
n = 300/100 = 3
答え
n = 3
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
7.軸応力とひずみ
答え: P = 133.3 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·2827) = 1.011 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.4/3 × 10⁻⁶ = 133336 N = 133.3 kN
答え
P = 133.3 kN
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 13.42 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 224.1 MPa
σ2 = 547.1 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 224.1·2000/70000 = 6.403 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 547.1·1500/117000 = 7.014 mm
δ = δ1 + δ2 = 13.42 mm
答え
δ = 13.42 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 12.56 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·5000 = 10000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/10000² = 12558 N = 12.56 kN
答え
Pcr = 12.56 kN
10.柱の座屈
答え: d = 33.94 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·10000 = 20000 N
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·20000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 33.94 mm
答え
d = 33.94 mm
確認：細長比 KL/r は 176.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: fd = 6.79 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(100000/50) = 44.72 rad/s
fn = 44.72/(2π) = 7.118 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 7.118·√(1 − 0.3²) = 6.79 Hz
答え
fd = 6.79 Hz
12.機械振動
答え: keq = 8.333 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/50 + 1/10 → keq = 50·10/(50 + 10) = 8.333 kN/m
答え
keq = 8.333 kN/m
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