歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1450 rpm で回転する 15 kW のモータが歯数 16 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 24 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 95% である。 モータ軸のトルク T1 を求めよ。
P = 15 kWn1 = 1450 rpmN1 = 16N2 = 24η = 95%
T1 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
960 rpm の 11 kW のモータが歯車 A（歯数 36）を駆動し、A は歯車 B（歯数 80）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 72）が出力軸の歯車 D（歯数 80）を駆動する。各かみ合いの効率は 96% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 11 kWnin = 960 rpmA = 36B = 80C = 72D = 80ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 400 N·md = 30 mmL = 1.2 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 500 rpm で 100 kW を伝達し、せん断応力が 50 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 100 kWN = 500 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 20 MPa、σᵧ = 70 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。要素を時計回りに 20°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = 20 MPaσy = 70 MPaτxy = 30 MPaθ = -20°
σy′ = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 30 mm の中実軸が曲げモーメント 300 N·mとトルク 100 N·m を同時に受ける。 曲げ応力が引張で最大となる上表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。
d = 30 mmM = 300 N·mT = 100 N·m
σ1 = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 400 mm、E = 120 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.4 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 銅, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 30 mm、長さ 400 mm、E = 110 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 100 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø30 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
ばね定数 8 kN/m のばねにつながれた 40 kg の質量に、減衰比 0.45 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 40 kgk = 8 kN/mζ = 0.45
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
100 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 60 kN/m、下のばねは k₂ = 20 kN/m である。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 100 kgk1 = 60 kN/mk2 = 20 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T1 = 98.79 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/151.8 = 98.79 N·m
答え
T1 = 98.79 N·m
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 249 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
出力回転数
nout = 960·(36/80)·(72/80) = 388.8 rpm
ωout = 2π·388.8/60 = 40.72 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 11000·0.96² = 10138 W
Tout = Pout/ωout = 10138/40.72 = 249 N·m
答え
Tout = 249 N·m
3.軸のねじり
答え: φ = 13.3 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(26000·79522) = 0.2322 rad
φ = 0.2322·180/π = 13.3°
答え
φ = 13.3°
4.軸のねじり
答え: d = 57.94 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 100000/52.36 = 1910 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·1.91 × 10⁶/(π·50)) = 57.94 mm
答え
d = 57.94 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = 83.43 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = 45 − (−25)·0.766 − 30·(−0.6428) = 83.43 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = 6.565 MPa, σx′ + σy′ = 90 = σx + σy
答え
σy′ = 83.43 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σ1 = 116.2 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·30³) = 113.2 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·30³) = 18.86 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 56.59 MPa
R = √(56.59² + 18.86²) = 59.65 MPa
σ1 = C + R = 116.2 MPa
σ2 = C − R = −3.061 MPa
答え
σ1 = 116.2 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 59.46 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1257 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490.9) = 4.074 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1257) = 2.653 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.4/6.727 × 10⁻⁶ = 59462 N = 59.46 kN
答え
P = 59.46 kN
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 44.84 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm
k₂ = 110000·706.9/400 = 194386 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 100000·194386/613265 = 31697 N
応力
σ2 = 31697/706.9 = 44.84 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 44.84 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 62.18 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·1000 = 1000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/1000² = 62179 N = 62.18 kN
答え
Pcr = 62.18 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 12.34 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/7.5 = 400
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa
答え
σcr = 12.34 MPa
11.機械振動
答え: fd = 2.01 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(8000/40) = 14.14 rad/s
fn = 14.14/(2π) = 2.251 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.251·√(1 − 0.45²) = 2.01 Hz
答え
fd = 2.01 Hz
12.機械振動
答え: keq = 15 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/60 + 1/20 → keq = 60·20/(60 + 20) = 15 kN/m
答え
keq = 15 kN/m
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