歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1450 rpm の 1.1 kW のモータが条数 1 のウォームを駆動する。ウォームホイールの歯数は 40、伝動効率は 80% である。ホイール軸の出力トルク Tw を求めよ。
z = 1Nw = 40n = 1450 rpmP = 1.1 kWη = 80%
Tw = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
遊星歯車装置で、太陽歯車の歯数は 18、各遊星歯車の歯数は 24 である。リングギヤを固定し、太陽歯車を 600 rpm で駆動する。遊星キャリヤの回転速度 nc を求めよ。
Ns = 18Np = 24ns = 600 rpm
nc = rpm
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中空軸（外径 50 mm、内径 38 mm、長さ 3 m）が一端で固定され、他端でトルク 1500 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 1500 N·mdo = 50 mmdi = 38 mmL = 3 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 50 mm のアルミニウム製の中実軸が A で固定されている。A から 1.5 m の B にトルク 250 N·m が作用し、さらに 0.8 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 750 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 50 mmTB = 250 N·mTC = 750 N·mAB = 1.5 mBC = 0.8 m
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 120 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 120 MPaσy = 60 MPaτxy = −60 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 120 MPa、σᵧ = 30 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 15° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 120 MPaσy = 30 MPaτxy = 30 MPaθ = 15°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 500 mm、E = 110 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.2 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 45 kN区間 1：Ø40 mm、1 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø16 mm、2 m、黄銅（E = 100 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 60 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 60 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
ばね定数 10 kN/m のばねにつながれた 25 kg の質量に、減衰比 0.5 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 25 kgk = 10 kN/mζ = 0.5
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
25 kg の質量がばね k₃ = 40 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 20 kN/m と k₂ = 15 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 25 kgk1 = 20 kN/mk2 = 15 kN/mk3 = 40 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: Tw = 231.8 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
ホイールの回転速度
nw = n·z/Nw = 1450·1/40 = 36.25 rpm
出力トルク
ωw = 2π·36.25/60 = 3.796 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.8·1100/3.796 = 231.8 N·m
答え
Tw = 231.8 N·m
2.歯車と歯車列
答え: nc = 128.6 rpm
遊星歯車装置：太陽歯車、リング、キャリヤの回転速度はウィリスの式 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns で結ばれます：キャリヤから見ると、遊星歯車をアイドラとする普通の歯車列です。1 つの要素を固定すると、単一の減速比をもつ減速機になります。
リングギヤの歯数
Nr = Ns + 2·Np = 18 + 2·24 = 66
リング固定時のウィリスの式
nr = 0 とおき、キャリヤの回転速度について解きます。
(600 − nc)/(0 − nc) = −66/18
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 600·18/84 = 128.6 rpm
答え
nc = 128.6 rpm
キャリヤは太陽歯車と同じ向きに回転します。
3.軸のねじり
答え: φ = 24.25 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴
ねじれ角
T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1.5 × 10⁶·3000/(26000·408885) = 0.4233 rad
φ = 0.4233·180/π = 24.25°
答え
φ = 24.25°
4.軸のねじり
答え: τmax = 30.56 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 750 N·m
TAB = TC − TB = 750 − 250 = 500 N·m
最大せん断応力
内部トルクが最大の区間で応力が最大になります（直径が同じ場合）。
|T|max = 750 N·m
τmax = 16·750000/(π·50³) = 30.56 MPa
答え
τmax = 30.56 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 67.08 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((120 − 60)/2)² + −60²) = 67.08 MPa
答え
τmax = 67.08 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 129 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 75 + 45·0.866 + 30·0.5 = 129 MPa
答え
σθ = 129 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 20.56 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1257 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490.9) = 6.112 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1257) = 3.617 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.2/9.729 × 10⁻⁶ = 20558 N = 20.56 kN
答え
P = 20.56 kN
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 4.782 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 35.81 MPa
σ2 = 223.8 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 35.81·1000/117000 = 0.3061 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 223.8·2000/100000 = 4.476 mm
δ = δ1 + δ2 = 4.782 mm
答え
δ = 4.782 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 79.96 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1500 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1.042 × 10⁶/3000² = 79962 N = 79.96 kN
答え
Pcr = 79.96 kN
10.柱の座屈
答え: d = 72.51 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·60000 = 150000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 72.51 mm
答え
d = 72.51 mm
確認：細長比 KL/r は 137.9 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: fd = 2.757 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(10000/25) = 20 rad/s
fn = 20/(2π) = 3.183 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 3.183·√(1 − 0.5²) = 2.757 Hz
答え
fd = 2.757 Hz
12.機械振動
答え: fn = 4.349 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 20 + 15 = 35 kN/m
keq = 35·40/(35 + 40) = 18.67 kN/m
固有振動数
ωn = √(18667/25) = 27.33 rad/s
fn = 27.33/(2π) = 4.349 Hz
答え
fn = 4.349 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design