歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
ベルトが、直径 125 mm の駆動プーリ上を 1440 rpm で走っています。張力は張り側で 1200 N、緩み側で 240 N です。伝達される動力 P を kW で求めなさい。
d1 = 125 mmn1 = 1440 rpmT1 = 1200 NT2 = 240 N
P = kW
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、1500 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 12）が歯車 B（歯数 36）を駆動する。歯車 C（歯数 12）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 20）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 1500 rpmA = 12B = 36C = 12D = 20
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
長さ 1.2 m のアルミニウム製の中実軸がトルク 1500 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 1.5° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
T = 1500 N·mL = 1.2 mG = 26 GPaφallow = 1.5°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 750 rpm で 100 kW を伝達し、せん断応力が 50 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 100 kWN = 750 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −70 MPa、σᵧ = −80 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = −70 MPaσy = −80 MPaτxy = 50 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 500 mm、肉厚 15 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 2 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 40° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。
D = 500 mmt = 15 mmp = 2 MPaα = 40°
σn = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 90 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 200 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 30 mm、長さ 400 mm、E = 110 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 50 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø30 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 50 mm の 4 周期後に 1.1 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 50 mmx4 = 1.1 mmn = 4
ζ =
12.機械振動むずかしい
25 kg の質量がばね k₃ = 60 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 60 kN/m と k₂ = 12 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 25 kgk1 = 60 kN/mk2 = 12 kN/mk3 = 60 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: P = 9.048 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの速さ
v = 9.425 m/s
電力
P = (1200 − 240)·9.425 = 9048 W = 9.048 kW
答え
P = 9.048 kW
2.歯車と歯車列
答え: nout = 300 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 1500·12/36 = 500 rpm = nC
第 2 段
nout = 500·12/20 = 300 rpm
答え
nout = 300 rpm
全体の速比 = 5 : 1
3.軸のねじり
答え: d = 72.04 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
必要な断面二次極モーメント
T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad
J = TL/(Gφ) = 1.5 × 10⁶·1200/(26000·0.02618) = 2.644 × 10⁶ mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 72.04 mm
答え
d = 72.04 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
4.軸のねじり
答え: d = 50.62 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 100000/78.54 = 1273 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·1.273 × 10⁶/(π·50)) = 50.62 mm
答え
d = 50.62 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 42.14 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·50, −70 − −80) = 84.29°
要素上の角度
θp = 42.14°
答え
θp = 42.14°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σn = 26.45 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 2·250/15 = 33.33 MPa
σa = pr/(2t) = 16.67 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
σn = 16.67·sin²40° + 33.33·cos²40° = 26.45 MPa
答え
σn = 26.45 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 1432 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 90·1000/314.2 = 286.5 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 286.5/200000 = 0.001432 = 1432 µε
答え
ε = 1432 µε
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 31.26 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·490.9/400 = 245437 N/mm
k₂ = 110000·706.9/400 = 194386 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 50000·194386/439823 = 22098 N
応力
σ2 = 22098/706.9 = 31.26 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 31.26 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 17.99 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1000 = 2000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/2000² = 17991 N = 17.99 kN
答え
Pcr = 17.99 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 12.34 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/10 = 400
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa
答え
σcr = 12.34 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.1501
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/4)·ln(50/1.1) = 0.9542
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.9542/√(39.48 + 0.9105) = 0.1501
答え
ζ = 0.1501
12.機械振動
答え: fn = 5.758 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 60 + 12 = 72 kN/m
keq = 72·60/(72 + 60) = 32.73 kN/m
固有振動数
ωn = √(32727/25) = 36.18 rad/s
fn = 36.18/(2π) = 5.758 Hz
答え
fn = 5.758 Hz
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