歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
直径 150 mm のプーリが 960 rpm で回り、滑り 2 % のベルトで直径 300 mm のプーリを駆動します。従動プーリの回転速度 n2 を求めなさい。
n1 = 960 rpmd1 = 150 mmd2 = 300 mms = 2 %
n2 = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、960 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 36）が歯車 B（歯数 50）を駆動する。歯車 C（歯数 16）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 30）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 960 rpmA = 36B = 50C = 16D = 30
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 400 N·md = 40 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
黄銅製の中実軸が 500 rpm で 75 kW を伝達する。せん断応力は 50 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.75° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 75 kWN = 500 rpmτallow = 50 MPaθallow = 0.75°/mG = 39 GPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −30 MPa、σᵧ = 40 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = −30 MPaσy = 40 MPaτxy = −20 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 160 MPa、σᵧ = 40 MPa、τₓᵧ = −20 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 420 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 160 MPaσy = 40 MPaτxy = −20 MPaσY = 420 MPa
n =
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 20 kNd = 25 mmL = 1 mE = 117 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 45 kN区間 1：Ø25 mm、1.5 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø16 mm、0.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
100 kg の質量が、ばね定数 200 kN/m のばねと、減衰係数 1340 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 100 kgk = 200 kN/mc = 1340 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
5 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 40 kN/m、k₂ = 80 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 5 kgk1 = 40 kN/mk2 = 80 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: n2 = 470.4 rpm
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
滑りなしの回転速度
960·150/300 = 480 rpm
滑りあり
n2 = 480·0.98 = 470.4 rpm
答え
n2 = 470.4 rpm
2.歯車と歯車列
答え: nout = 368.6 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 960·36/50 = 691.2 rpm = nC
第 2 段
nout = 691.2·16/30 = 368.6 rpm
答え
nout = 368.6 rpm
全体の速比 = 2.604 : 1
3.軸のねじり
答え: φ = 3.42 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 400·1000·3000/(80000·251327) = 0.05968 rad
φ = 0.05968·180/π = 3.42°
答え
φ = 3.42°
4.軸のねじり
答え: d = 73.12 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 75000/52.36 = 1432 N·m
強度から決まる直径
T = 1432 N·m = 1.432 × 10⁶ N·mm
dτ = ∛(16·1.432 × 10⁶/(π·50)) = 52.64 mm
剛性から決まる直径
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·1.432 × 10⁶/(π·39000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 73.12 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(52.64, 73.12) = 73.12 mm
答え
d = 73.12 mm
ここでは剛性で決まります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = −75.13 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·−20, −30 − 40) = −150.3°
要素上の角度
θp = −75.13°
答え
θp = −75.13°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 2.832
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 100 MPa, R = 63.25 MPa
σ1 = 163.2 MPa, σ2 = 36.75 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(163.2² − 163.2·36.75 + 36.75²) = 148.3 MPa
n = 420/148.3 = 2.832
答え
n = 2.832
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.3482 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 20·1000/490.9 = 40.74 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 40.74/117000 = 0.0003482 = 348.2 µε
伸び
δ = ε·L = 0.0003482·1000 mm = 0.3482 mm
答え
δ = 0.3482 mm
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 2.774 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 91.67 MPa
σ2 = 223.8 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 91.67·1500/117000 = 1.175 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 223.8·500/70000 = 1.599 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.774 mm
答え
δ = 2.774 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 3.998 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·3000 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/3000² = 3998 N = 3.998 kN
答え
Pcr = 3.998 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 16.11 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/10 = 350
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/350² = 16.11 MPa
答え
σcr = 16.11 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.1498
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(200000·100) = 8944 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 1340/8944 = 0.1498
答え
ζ = 0.1498
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: keq = 120 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 40 + 80 = 120 kN/m
答え
keq = 120 kN/m
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