歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1500 rpm で回転する 15 kW のモータが歯数 18 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 40 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 98% である。 歯車軸の出力トルク T2 を求めよ。
P = 15 kWn1 = 1500 rpmN1 = 18N2 = 40η = 98%
T2 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
遊星歯車装置で、太陽歯車の歯数は 18、各遊星歯車の歯数は 24 である。リングギヤを固定し、太陽歯車を 3000 rpm で駆動する。遊星キャリヤの回転速度 nc を求めよ。
Ns = 18Np = 24ns = 3000 rpm
nc = rpm
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 750 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 500 rpm で 15 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 15 kWN = 500 rpmdo = 75 mmdi = 60 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −40 MPa、σᵧ = 40 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 30°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = −40 MPaσy = 40 MPaτxy = −20 MPaθ = 30°
σy′ = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 130 MPa、σᵧ = 30 MPa、τₓᵧ = −60 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 460 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 130 MPaσy = 30 MPaτxy = −60 MPaσY = 460 MPa
n =
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける黄銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 110 kNd = 30 mmL = 1.5 mE = 100 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 200 mm、E = 120 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 100 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 銅, Ø40 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
80 kg の質量が、ばね定数 8 kN/m のばねと、減衰係数 130 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 80 kgk = 8 kN/mc = 130 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
40 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 80 kN/m、下のばねは k₂ = 60 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 40 kgk1 = 80 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T2 = 208 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/157.1 = 95.49 N·m
出力トルク
T2 = 95.49·40/18·0.98 = 208 N·m
答え
T2 = 208 N·m
2.歯車と歯車列
答え: nc = 642.9 rpm
遊星歯車装置：太陽歯車、リング、キャリヤの回転速度はウィリスの式 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns で結ばれます：キャリヤから見ると、遊星歯車をアイドラとする普通の歯車列です。1 つの要素を固定すると、単一の減速比をもつ減速機になります。
リングギヤの歯数
Nr = Ns + 2·Np = 18 + 2·24 = 66
リング固定時のウィリスの式
nr = 0 とおき、キャリヤの回転速度について解きます。
(3000 − nc)/(0 − nc) = −66/18
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 3000·18/84 = 642.9 rpm
答え
nc = 642.9 rpm
キャリヤは太陽歯車と同じ向きに回転します。
3.軸のねじり
答え: φ = 4.274 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 750·1000·2000/(80000·251327) = 0.0746 rad
φ = 0.0746·180/π = 4.274°
答え
φ = 4.274°
4.軸のねじり
答え: τmax = 5.858 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 15000/52.36 = 286.5 N·m
断面二次極モーメント
J = π(75⁴ − 60⁴)/32 = 1.834 × 10⁶ mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 286479·37.5/1.834 × 10⁶ = 5.858 MPa
答え
τmax = 5.858 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = 37.32 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = 0 − (−40)·0.5 − (−20)·0.866 = 37.32 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = −37.32 MPa, σx′ + σy′ = 0 = σx + σy
答え
σy′ = 37.32 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 2.927
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 80 MPa, R = 78.1 MPa
σ1 = 158.1 MPa, σ2 = 1.898 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(158.1² − 158.1·1.898 + 1.898²) = 157.2 MPa
n = 460/157.2 = 2.927
答え
n = 2.927
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 2.334 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 110·1000/706.9 = 155.6 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 155.6/100000 = 0.001556 = 1556 µε
伸び
δ = ε·L = 0.001556·1500 mm = 2.334 mm
答え
δ = 2.334 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 37.69 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm
k₂ = 120000·1257/200 = 753982 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 100000·753982/1.592 × 10⁶ = 47368 N
応力
σ2 = 47368/1257 = 37.69 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 37.69 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 77.24 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·1000 = 700 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/700² = 77244 N = 77.24 kN
答え
Pcr = 77.24 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 17.77 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·2500 = 5000 mm
KL/r = 5000/15 = 333.3
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/333.3² = 17.77 MPa
答え
σcr = 17.77 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.08125
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(8000·80) = 1600 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 130/1600 = 0.08125
答え
ζ = 0.08125
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 4.66 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/80 + 1/60 → keq = 80·60/(80 + 60) = 34.29 kN/m
固有振動数
ωn = √(34286/40) = 29.28 rad/s
fn = 29.28/(2π) = 4.66 Hz
答え
fn = 4.66 Hz
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