歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
ベルトが、直径 125 mm の駆動プーリ上を 960 rpm で走っています。張力は張り側で 1000 N、緩み側で 250 N です。伝達される動力 P を kW で求めなさい。
d1 = 125 mmn1 = 960 rpmT1 = 1000 NT2 = 250 N
P = kW
2.歯車と歯車列むずかしい
1440 rpm の 5.5 kW のモータが歯車 A（歯数 24）を駆動し、A は歯車 B（歯数 48）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 12）が出力軸の歯車 D（歯数 25）を駆動する。各かみ合いの効率は 98% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 5.5 kWnin = 1440 rpmA = 24B = 48C = 12D = 25ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 100 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.5 倍とし、せん断応力は 60 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 100 N·mdi/do = 0.5τallow = 60 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 500 rpm で 50 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.75 倍とし、せん断応力は 60 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 50 kWN = 500 rpmdi/do = 0.75τallow = 60 MPa
do = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 110 MPa、σᵧ = 90 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 110 MPaσy = 90 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 60 mm の中実軸が軸引張力 60 kNとトルク 500 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。
d = 60 mmF = 60 kNT = 500 N·m
σ1 = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa）が、アルミニウム でできた管（外径 120 mm、内径 60 mm、E = 70 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 600 mm で、剛な板の間で 150 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 150 kN棒: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 600 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 25 kN区間 1：Ø40 mm、1.5 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø20 mm、0.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 30 mm の 4 周期後に 2.4 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 30 mmx4 = 2.4 mmn = 4
ζ =
12.機械振動むずかしい
5 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 40 kN/m、k₂ = 10 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 5 kgk1 = 40 kN/mk2 = 10 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: P = 4.712 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの速さ
v = 6.283 m/s
電力
P = (1000 − 250)·6.283 = 4712 W = 4.712 kW
答え
P = 4.712 kW
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 146 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
出力回転数
nout = 1440·(24/48)·(12/25) = 345.6 rpm
ωout = 2π·345.6/60 = 36.19 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 5500·0.98² = 5282 W
Tout = Pout/ωout = 5282/36.19 = 146 N·m
答え
Tout = 146 N·m
3.軸のねじり
答え: do = 20.84 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 100 N·m = 100000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·60·0.9375)) = 20.84 mm
di = 0.5·20.84 = 10.42 mm
答え
do = 20.84 mm
中実軸なら d = 20.4 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: do = 49.13 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 50000/52.36 = 954.9 N·m
許容応力からの外径
T = 954.9 N·m = 954930 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·60·0.6836)) = 49.13 mm
di = 0.75·49.13 = 36.85 mm
答え
do = 49.13 mm
中実軸なら d = 43.28 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 35.78 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·30, 110 − 90) = 71.57°
要素上の角度
θp = 35.78°
答え
θp = 35.78°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σ1 = 26.47 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = 60000/(π·60²/4) = 60000/2827 = 21.22 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·60³) = 11.79 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 10.61 MPa
R = √(10.61² + 11.79²) = 15.86 MPa
σ1 = C + R = 26.47 MPa
σ2 = C − R = −5.25 MPa
答え
σ1 = 26.47 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.1371 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·8482 = 6.566 × 10⁸ N
縮み
δ = 150000·600/6.566 × 10⁸ = 0.1371 mm
答え
δ = 0.1371 mm
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.8668 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 19.89 MPa
σ2 = 79.58 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 19.89·1500/100000 = 0.2984 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 79.58·500/70000 = 0.5684 mm
δ = δ1 + δ2 = 0.8668 mm
答え
δ = 0.8668 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 206.3 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/1750² = 206255 N = 206.3 kN
答え
Pcr = 206.3 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 1.079 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·6000 = 12000 mm
KL/r = 12000/15 = 800
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/800² = 1.079 MPa
答え
σcr = 1.079 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.09999
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/4)·ln(30/2.4) = 0.6314
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6314/√(39.48 + 0.3987) = 0.09999
答え
ζ = 0.09999
12.機械振動
答え: keq = 50 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 40 + 10 = 50 kN/m
答え
keq = 50 kN/m
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