歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2900 rpm で回転する 2.2 kW のモータが歯数 20 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 25 の歯車とかみ合っている。 損失は無視する。 歯車軸の出力トルク T2 を求めよ。
P = 2.2 kWn1 = 2900 rpmN1 = 20N2 = 25η = 100%
T2 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、200 rpm の直径 2880 mm の駆動プーリと直径 500 mm のプーリをつなぎ、中心は 600 mm 離れています。摩擦係数は 0.35 で、張り側の張力は 1200 N を超えてはなりません。ベルトが滑らずに伝達できる最大動力 P を kW で求めなさい（遠心力の影響は無視します）。
d1 = 200 mmn1 = 2880 rpmd2 = 500 mmC = 600 mmμ = 0.35T1 = 1200 N
P = kW
3.軸のねじりふつう
長さ 1.2 m の鋼製の中実軸がトルク 200 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 1.5° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
T = 200 N·mL = 1.2 mG = 80 GPaφallow = 1.5°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 1000 rpm で 15 kW を伝達し、せん断応力が 60 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 80 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 35°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = 80 MPaσy = 20 MPaτxy = −20 MPaθ = 35°
σy′ = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 800 mm、肉厚 8 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 2 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 30° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目に沿って作用するせん断応力の大きさ |τn| を求めよ。
D = 800 mmt = 8 mmp = 2 MPaα = 30°
|τn| = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 80 kNd = 25 mmL = 2 mE = 117 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa、許容応力 120 MPa）が、アルミニウム でできた管（外径 100 mm、内径 60 mm、E = 70 GPa、許容応力 70 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 115 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 115 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
10 kg の質量が、ばね定数 100 kN/m のばねと、減衰係数 200 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 10 kgk = 100 kN/mc = 200 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
40 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 20 kN/m、下のばねは k₂ = 15 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 40 kgk1 = 20 kN/mk2 = 15 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T2 = 9.055 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/303.7 = 7.244 N·m
出力トルク
T2 = 7.244·25/20·1 = 9.055 N·m
答え
T2 = 9.055 N·m
2.歯車と歯車列
答え: P = 21.81 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
巻き付け角
θ = 2.636 rad
緩み側の張力
eμθ = e0.9227 = 2.516, T₂ = 1200/2.516 = 476.9 N
電力
P = (1200 − 476.9)·30.16 = 21.81 kW
答え
P = 21.81 kW
3.軸のねじり
答え: d = 32.87 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
必要な断面二次極モーメント
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad
J = TL/(Gφ) = 200000·1200/(80000·0.02618) = 114592 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 32.87 mm
答え
d = 32.87 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
4.軸のねじり
答え: d = 22.99 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 15000/104.7 = 143.2 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·143239/(π·60)) = 22.99 mm
答え
d = 22.99 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = 58.53 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = 50 − 30·0.342 − (−20)·0.9397 = 58.53 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = 41.47 MPa, σx′ + σy′ = 100 = σx + σy
答え
σy′ = 58.53 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: |τn| = 21.65 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 800/2 = 400 mm
σh = pr/t = 2·400/8 = 100 MPa
σa = pr/(2t) = 50 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
|τn| = (100 − 50)·sin 30°·cos 30° = 21.65 MPa
答え
|τn| = 21.65 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 2.786 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 80·1000/490.9 = 163 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 163/117000 = 0.001393 = 1393 µε
伸び
δ = ε·L = 0.001393·2000 mm = 2.786 mm
答え
δ = 2.786 mm
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 270 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·5027 = 4.5 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.0006, 0.001) = 0.0006 (鋼)
最大荷重
Pmax = 0.0006·4.5 × 10⁸ = 270020 N = 270 kN
答え
Pmax = 270 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 69.09 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/1500² = 69087 N = 69.09 kN
答え
Pcr = 69.09 kN
10.柱の座屈
答え: d = 57.46 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·115000 = 345000 N
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·345000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 57.46 mm
答え
d = 57.46 mm
確認：細長比 KL/r は 121.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.1
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(100000·10) = 2000 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 200/2000 = 0.1
答え
ζ = 0.1
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 2.33 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/20 + 1/15 → keq = 20·15/(20 + 15) = 8.571 kN/m
固有振動数
ωn = √(8571/40) = 14.64 rad/s
fn = 14.64/(2π) = 2.33 Hz
答え
fn = 2.33 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design