歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2 本の平行軸の間隔は 225 mm である。これらをモジュール 5 mm、減速比 3.5 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。 ピニオンの歯数 N1 はいくつ必要か。
a = 225 mmm = 5 mmi = 3.5
N1 =
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、直径 200 mm のプーリと直径 250 mm のプーリをつなぎ、その中心は 800 mm 離れています。小さいほうのプーリへの巻き付け角 θ を度で求めなさい。
d1 = 200 mmd2 = 250 mmC = 800 mm
θ = °
3.軸のねじりふつう
長さ 2.5 m のアルミニウム製の中実軸がトルク 2000 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 1° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
T = 2000 N·mL = 2.5 mG = 26 GPaφallow = 1°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
アルミニウム製の中実軸が 1450 rpm で 20 kW を伝達する。せん断応力は 75 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.5° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 20 kWN = 1450 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.5°/mG = 26 GPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −40 MPa、σᵧ = −40 MPa、τₓᵧ = 40 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = −40 MPaσy = −40 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −60 MPa、σᵧ = −10 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 30° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = −60 MPaσy = −10 MPaτxy = −50 MPaθ = 30°
τθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 55 kNd = 12 mmL = 2 mE = 117 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 55 kN区間 1：Ø40 mm、2 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø12 mm、2 m、黄銅（E = 100 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 20 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
25 kg の質量が、ばね定数 15 kN/m のばねと、減衰係数 240 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 25 kgk = 15 kN/mc = 240 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
40 kg の質量がばね k₃ = 40 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 30 kN/m と k₂ = 60 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 40 kgk1 = 30 kN/mk2 = 60 kN/mk3 = 40 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: N1 = 20
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
歯数の合計
N1 + N2 = 2a/m = 2·225/5 = 90
比で分ける
N1 = 90/(1 + 3.5) = 20
答え
N1 = 20
2.歯車と歯車列
答え: θ = 176.4 °
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの角度
asin(0.03125) = 1.791°
巻き付け角
θ = 180 − 2·1.791 = 176.4°
答え
θ = 176.4°
3.軸のねじり
答え: d = 102.9 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
必要な断面二次極モーメント
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 2.5 m = 2500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1·π/180 = 0.01745 rad
J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·2500/(26000·0.01745) = 1.102 × 10⁷ mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 102.9 mm
答え
d = 102.9 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
4.軸のねじり
答え: d = 49.31 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 20000/151.8 = 131.7 N·m
強度から決まる直径
T = 131.7 N·m = 131714 N·mm
dτ = ∛(16·131714/(π·75)) = 20.76 mm
剛性から決まる直径
θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·131714/(π·26000·8.727 × 10⁻⁶))1/4 = 49.31 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(20.76, 49.31) = 49.31 mm
答え
d = 49.31 mm
ここでは剛性で決まります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 40 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((−40 − −40)/2)² + 40²) = 40 MPa
答え
τmax = 40 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = −3.349 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −−25·0.866 + −50·0.5 = −3.349 MPa
答え
τθ = −3.349 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 8.313 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 55·1000/113.1 = 486.3 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 486.3/117000 = 0.004156 = 4156 µε
伸び
δ = ε·L = 0.004156·2000 mm = 8.313 mm
答え
δ = 8.313 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 486.3 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 43.77 MPa
σ2 = 486.3 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 486.3 MPa
答え
σmax = 486.3 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 5.712 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·6000 = 6000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/6000² = 5712 N = 5.712 kN
答え
Pcr = 5.712 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 12.34 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/5 = 400
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa
答え
σcr = 12.34 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.196
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(15000·25) = 1225 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 240/1225 = 0.196
答え
ζ = 0.196
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 4.188 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 30 + 60 = 90 kN/m
keq = 90·40/(90 + 40) = 27.69 kN/m
固有振動数
ωn = √(27692/40) = 26.31 rad/s
fn = 26.31/(2π) = 4.188 Hz
答え
fn = 4.188 Hz
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