歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1450 rpm で回転する 15 kW のモータが歯数 12 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 50 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 97% である。 モータ軸のトルク T1 を求めよ。
P = 15 kWn1 = 1450 rpmN1 = 12N2 = 50η = 97%
T1 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、1440 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 36）が歯車 B（歯数 60）を駆動する。歯車 C（歯数 24）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 30）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 1440 rpmA = 36B = 60C = 24D = 30
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 1000 N·md = 40 mmL = 1 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1800 rpm で 100 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.7 倍とし、せん断応力は 80 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 100 kWN = 1800 rpmdi/do = 0.7τallow = 80 MPa
do = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −30 MPa、σᵧ = −10 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = −30 MPaσy = −10 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 100 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 45° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 100 MPaσy = 10 MPaτxy = −30 MPaθ = 45°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 110 kNd = 25 mmL = 2.5 mE = 70 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 10 kN区間 1：Ø35 mm、2 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø20 mm、2 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2 で 80 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 80 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 10 mm の 4 周期後に 2.8 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 10 mmx4 = 2.8 mmn = 4
ζ =
12.機械振動むずかしい
40 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 20 kN/m、下のばねは k₂ = 10 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 40 kgk1 = 20 kN/mk2 = 10 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T1 = 98.79 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/151.8 = 98.79 N·m
答え
T1 = 98.79 N·m
2.歯車と歯車列
答え: nout = 691.2 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 1440·36/60 = 864 rpm = nC
第 2 段
nout = 864·24/30 = 691.2 rpm
答え
nout = 691.2 rpm
全体の速比 = 2.083 : 1
3.軸のねじり
答え: φ = 5.845 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1000/(39000·251327) = 0.102 rad
φ = 0.102·180/π = 5.845°
答え
φ = 5.845°
4.軸のねじり
答え: do = 35.42 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 100000/188.5 = 530.5 N·m
許容応力からの外径
T = 530.5 N·m = 530516 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·530516/(π·80·0.7599)) = 35.42 mm
di = 0.7·35.42 = 24.8 mm
答え
do = 35.42 mm
中実軸なら d = 32.32 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 50.99 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((−30 − −10)/2)² + −50²) = 50.99 MPa
答え
τmax = 50.99 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 25 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 55 + 45·0 + −30·1 = 25 MPa
答え
σθ = 25 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 3201 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 110·1000/490.9 = 224.1 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 224.1/70000 = 0.003201 = 3201 µε
答え
ε = 3201 µε
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 1.117 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 10.39 MPa
σ2 = 31.83 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 10.39·2000/100000 = 0.2079 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 31.83·2000/70000 = 0.9095 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.117 mm
答え
δ = 1.117 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 263.2 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/2500² = 263189 N = 263.2 kN
答え
Pcr = 263.2 kN
10.柱の座屈
答え: d = 80.72 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·80000 = 160000 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 80.72 mm
答え
d = 80.72 mm
確認：細長比 KL/r は 148.7 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.05058
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/4)·ln(10/2.8) = 0.3182
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3182/√(39.48 + 0.1013) = 0.05058
答え
ζ = 0.05058
12.機械振動
答え: fn = 2.055 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/20 + 1/10 → keq = 20·10/(20 + 10) = 6.667 kN/m
固有振動数
ωn = √(6667/40) = 12.91 rad/s
fn = 12.91/(2π) = 2.055 Hz
答え
fn = 2.055 Hz
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