歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
ベルトが、直径 200 mm の駆動プーリ上を 1440 rpm で走っています。張力は張り側で 500 N、緩み側で 250 N です。伝達される動力 P を kW で求めなさい。
d1 = 200 mmn1 = 1440 rpmT1 = 500 NT2 = 250 N
P = kW
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、1500 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 50）が歯車 B（歯数 60）を駆動する。歯車 C（歯数 12）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 20）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 1500 rpmA = 50B = 60C = 12D = 20
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
長さ 2.5 m のアルミニウム製の中実軸がトルク 2000 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 1.5° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
T = 2000 N·mL = 2.5 mG = 26 GPaφallow = 1.5°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1800 rpm で 100 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 100 kWN = 1800 rpmdo = 50 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −20 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = 10 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = −20 MPaσy = 110 MPaτxy = 10 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −30 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = −20 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 350 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = −30 MPaσy = −30 MPaτxy = −20 MPaσY = 350 MPa
n =
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける黄銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 60 kNd = 10 mmL = 2 mE = 100 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 300 mm、E = 100 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 80 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 85 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 85 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
100 kg の質量が、ばね定数 40 kN/m のばねと、減衰係数 320 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 100 kgk = 40 kN/mc = 320 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
20 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 25 kN/m、下のばねは k₂ = 50 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 20 kgk1 = 25 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: P = 3.77 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの速さ
v = 15.08 m/s
電力
P = (500 − 250)·15.08 = 3770 W = 3.77 kW
答え
P = 3.77 kW
2.歯車と歯車列
答え: nout = 750 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 1500·50/60 = 1250 rpm = nC
第 2 段
nout = 1250·12/20 = 750 rpm
答え
nout = 750 rpm
全体の速比 = 2 : 1
3.軸のねじり
答え: d = 93.01 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
必要な断面二次極モーメント
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 2.5 m = 2500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad
J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·2500/(26000·0.02618) = 7.346 × 10⁶ mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 93.01 mm
答え
d = 93.01 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
4.軸のねじり
答え: τmax = 24.83 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 100000/188.5 = 530.5 N·m
断面二次極モーメント
J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 530516·25/534071 = 24.83 MPa
答え
τmax = 24.83 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 65.76 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = 45 MPa, R = √((−65)² + 10²) = 65.76 MPa
σ1 = 110.8 MPa, σ2 = −20.76 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(131.5, 110.8, 20.76)/2 = 65.76 MPa
答え
τabs = 65.76 MPa
ここでは σ₁ と σ₂ の符号が逆なので、面内最大値 R が絶対最大値でもあります。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 7.638
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = −30 MPa, R = 20 MPa
σ1 = −10 MPa, σ2 = −50 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √((−10)² − (−10)·(−50) + (−50)²) = 45.83 MPa
n = 350/45.83 = 7.638
答え
n = 7.638
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 15.28 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 60·1000/78.54 = 763.9 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 763.9/100000 = 0.007639 = 7639 µε
伸び
δ = ε·L = 0.007639·2000 mm = 15.28 mm
答え
δ = 15.28 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 38.01 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·706.9/500 = 282743 N/mm
k₂ = 100000·1257/300 = 418879 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 80000·418879/701622 = 47761 N
応力
σ2 = 47761/1257 = 38.01 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 38.01 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 4.395 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·5000 = 10000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/10000² = 4395 N = 4.395 kN
答え
Pcr = 4.395 kN
10.柱の座屈
答え: d = 56.96 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·85000 = 255000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 56.96 mm
答え
d = 56.96 mm
確認：細長比 KL/r は 140.4 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.08
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(40000·100) = 4000 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 320/4000 = 0.08
答え
ζ = 0.08
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 4.594 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/25 + 1/50 → keq = 25·50/(25 + 50) = 16.67 kN/m
固有振動数
ωn = √(16667/20) = 28.87 rad/s
fn = 28.87/(2π) = 4.594 Hz
答え
fn = 4.594 Hz
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