歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1440 rpm で回転する 4 kW のモータが、歯数 16、モジュール 2 mm のピニオンを駆動する。ピニオンの歯に働く接線力 Ft を求めよ。
P = 4 kWn = 1440 rpmN1 = 16m = 2 mm
Ft = N
2.歯車と歯車列むずかしい
1450 rpm の 11 kW のモータが歯車 A（歯数 30）を駆動し、A は歯車 B（歯数 40）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 36）が出力軸の歯車 D（歯数 50）を駆動する。各かみ合いの効率は 95% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 11 kWnin = 1450 rpmA = 30B = 40C = 36D = 50ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中空軸（外径 60 mm、内径 30 mm、長さ 2 m）が一端で固定され、他端でトルク 750 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 750 N·mdo = 60 mmdi = 30 mmL = 2 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 500 rpm で 30 kW を伝達し、せん断応力が 75 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 30 kWN = 500 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 20 MPa、σᵧ = −10 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 20 MPaσy = −10 MPaτxy = −30 MPa
θs = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 0 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 25° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 0 MPaσy = −20 MPaτxy = −50 MPaθ = 25°
τθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 20 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 50 mm、長さ 200 mm、E = 110 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.2 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 45 kN区間 1：Ø35 mm、2 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø20 mm、1 m、黄銅（E = 100 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 80 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
ばね定数 40 kN/m のばねにつながれた 100 kg の質量に、減衰比 0.3 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 100 kgk = 40 kN/mζ = 0.3
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
20 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 15 kN/m、k₂ = 50 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 20 kgk1 = 15 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: Ft = 1658 N
歯車の幾何：モジュール m が歯の大きさを決めます。歯数 N の歯車のピッチ円直径は d = m·N、かみ合う 2 つの歯車のモジュールは等しく、中心距離は a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 です。ピッチ円周速度は v = π·d·n/60 で、接線方向の歯面力はトルクから Ft = 2T/d となります。
ピニオンのトルク
ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T = P/ω = 4000/150.8 = 26.53 N·m
ピッチ円直径
d = m·N = 2·16 = 32 mm
接線力
Ft = 2T/d = 2·26.53/0.032 = 1658 N
答え
Ft = 1658 N
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 121.1 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
出力回転数
nout = 1450·(30/40)·(36/50) = 783 rpm
ωout = 2π·783/60 = 82 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 11000·0.95² = 9928 W
Tout = Pout/ωout = 9928/82 = 121.1 N·m
答え
Tout = 121.1 N·m
3.軸のねじり
答え: φ = 1.847 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1.193 × 10⁶ mm⁴
ねじれ角
T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 750000·2000/(39000·1.193 × 10⁶) = 0.03224 rad
φ = 0.03224·180/π = 1.847°
答え
φ = 1.847°
4.軸のねじり
答え: d = 33.89 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 30000/52.36 = 573 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·572958/(π·75)) = 33.89 mm
答え
d = 33.89 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θs = −76.72 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。
cos 2θs = −30/33.54 = −0.8944, sin 2θs = −15/33.54 = −0.4472
2θs = atan2(−15, −30) = −153.4°
要素上の角度
θs = −76.72°
確認: θs − θp = −76.72 − (−31.72) = −45°
答え
θs = −76.72°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = −39.8 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −10·0.766 + −50·0.6428 = −39.8 MPa
答え
τθ = −39.8 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 27.43 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 1963 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314.2) = 6.366 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1963) = 9.26 × 10⁻⁷ mm/N
荷重
P = 0.2/7.292 × 10⁻⁶ = 27427 N = 27.43 kN
答え
P = 27.43 kN
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 143.2 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 46.77 MPa
σ2 = 143.2 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 143.2 MPa
答え
σmax = 143.2 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 33.91 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2500² = 33913 N = 33.91 kN
答え
Pcr = 33.91 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 44.22 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/20 = 125
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/125² = 44.22 MPa
答え
σcr = 44.22 MPa
11.機械振動
答え: fd = 3.036 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(40000/100) = 20 rad/s
fn = 20/(2π) = 3.183 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 3.183·√(1 − 0.3²) = 3.036 Hz
答え
fd = 3.036 Hz
12.機械振動
答え: fn = 9.073 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 15 + 50 = 65 kN/m
固有振動数
ωn = √(65000/20) = 57.01 rad/s
fn = 57.01/(2π) = 9.073 Hz
答え
fn = 9.073 Hz
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