歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
ベルトが、直径 80 mm の駆動プーリ上を 960 rpm で走っています。張力は張り側で 800 N、緩み側で 160 N です。伝達される動力 P を kW で求めなさい。
d1 = 80 mmn1 = 960 rpmT1 = 800 NT2 = 160 N
P = kW
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、3000 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 48）が歯車 B（歯数 60）を駆動する。歯車 C（歯数 18）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 36）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 3000 rpmA = 48B = 60C = 18D = 36
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 250 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 3000 rpm で 5 kW を伝達し、せん断応力が 75 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 5 kWN = 3000 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 150 MPa、σᵧ = −40 MPa、τₓᵧ = −40 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 150 MPaσy = −40 MPaτxy = −40 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 70 MPa、σᵧ = 50 MPa、τₓᵧ = −10 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 300 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 70 MPaσy = 50 MPaτxy = −10 MPaσY = 300 MPa
n =
7.軸応力とひずみふつう
銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 105 kNd = 16 mmL = 1.5 mE = 117 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 30 mm、長さ 400 mm、E = 100 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 30 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø30 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 150 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 150 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
ばね定数 50 kN/m のばねにつながれた 8 kg の質量に、減衰比 0.45 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 8 kgk = 50 kN/mζ = 0.45
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
20 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 80 kN/m、k₂ = 100 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 20 kgk1 = 80 kN/mk2 = 100 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: P = 2.574 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの速さ
v = 4.021 m/s
電力
P = (800 − 160)·4.021 = 2574 W = 2.574 kW
答え
P = 2.574 kW
2.歯車と歯車列
答え: nout = 1200 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 3000·48/60 = 2400 rpm = nC
第 2 段
nout = 2400·18/36 = 1200 rpm
答え
nout = 1200 rpm
全体の速比 = 2.5 : 1
3.軸のねじり
答え: φ = 11.49 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(26000·38350) = 0.2006 rad
φ = 0.2006·180/π = 11.49°
答え
φ = 11.49°
4.軸のねじり
答え: d = 10.26 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 5000/314.2 = 15.92 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·15915/(π·75)) = 10.26 mm
答え
d = 10.26 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 103.1 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((150 − −40)/2)² + −40²) = 103.1 MPa
答え
τmax = 103.1 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 4.046
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 60 MPa, R = 14.14 MPa
σ1 = 74.14 MPa, σ2 = 45.86 MPa, σ3 = 0
トレスカ
σmax − σmin = 74.14 MPa
n = 300/74.14 = 4.046
答え
n = 4.046
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 4463 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 105·1000/201.1 = 522.2 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 522.2/117000 = 0.004463 = 4463 µε
答え
ε = 4463 µε
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 20.1 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·490.9/500 = 196350 N/mm
k₂ = 100000·706.9/400 = 176715 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 30000·176715/373064 = 14211 N
応力
σ2 = 14211/706.9 = 20.1 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 20.1 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 134.8 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/2500² = 134753 N = 134.8 kN
答え
Pcr = 134.8 kN
10.柱の座屈
答え: d = 147.8 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·150000 = 450000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 147.8 mm
答え
d = 147.8 mm
確認：細長比 KL/r は 162.3 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: fd = 11.24 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(50000/8) = 79.06 rad/s
fn = 79.06/(2π) = 12.58 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 12.58·√(1 − 0.45²) = 11.24 Hz
答え
fd = 11.24 Hz
12.機械振動
答え: keq = 180 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 80 + 100 = 180 kN/m
答え
keq = 180 kN/m
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