歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
直径 150 mm のプーリが 2880 rpm で回り、滑り 1.5 % のベルトで直径 500 mm のプーリを駆動します。従動プーリの回転速度 n2 を求めなさい。
n1 = 2880 rpmd1 = 150 mmd2 = 500 mms = 1.5 %
n2 = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
遊星歯車装置で、太陽歯車の歯数は 24、各遊星歯車の歯数は 30 である。リングギヤを固定し、太陽歯車を 1200 rpm で駆動する。遊星キャリヤの回転速度 nc を求めよ。
Ns = 24Np = 30ns = 1200 rpm
nc = rpm
3.軸のねじりふつう
長さ 0.5 m のアルミニウム製の中実軸がトルク 200 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 1.5° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
T = 200 N·mL = 0.5 mG = 26 GPaφallow = 1.5°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 300 rpm で 15 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.6 倍とし、せん断応力は 60 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 15 kWN = 300 rpmdi/do = 0.6τallow = 60 MPa
do = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 90 MPa、σᵧ = 60 MPa である。最大主応力が 140 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = 90 MPaσy = 60 MPaσ1 = 140 MPa
τxy = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 150 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 420 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 150 MPaσy = −60 MPaτxy = 30 MPaσY = 420 MPa
n =
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 80 mm、内径 60 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 400 mm で、剛な板の間で 300 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 300 kN棒: Ø40 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 400 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 100 kN区間 1：Ø30 mm、0.5 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø12 mm、1 m、黄銅（E = 100 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2 で 55 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 55 kNn = 2L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
12 kg の質量が、ばね定数 20 kN/m のばねと、減衰係数 50 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 12 kgk = 20 kN/mc = 50 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
5 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 60 kN/m、k₂ = 25 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 5 kgk1 = 60 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: n2 = 851 rpm
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
滑りなしの回転速度
2880·150/500 = 864 rpm
滑りあり
n2 = 864·0.985 = 851 rpm
答え
n2 = 851 rpm
2.歯車と歯車列
答え: nc = 266.7 rpm
遊星歯車装置：太陽歯車、リング、キャリヤの回転速度はウィリスの式 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns で結ばれます：キャリヤから見ると、遊星歯車をアイドラとする普通の歯車列です。1 つの要素を固定すると、単一の減速比をもつ減速機になります。
リングギヤの歯数
Nr = Ns + 2·Np = 24 + 2·30 = 84
リング固定時のウィリスの式
nr = 0 とおき、キャリヤの回転速度について解きます。
(1200 − nc)/(0 − nc) = −84/24
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 1200·24/108 = 266.7 rpm
答え
nc = 266.7 rpm
キャリヤは太陽歯車と同じ向きに回転します。
3.軸のねじり
答え: d = 34.98 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
必要な断面二次極モーメント
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 0.5 m = 500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad
J = TL/(Gφ) = 200000·500/(26000·0.02618) = 146912 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 34.98 mm
答え
d = 34.98 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
4.軸のねじり
答え: do = 35.98 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 15000/31.42 = 477.5 N·m
許容応力からの外径
T = 477.5 N·m = 477465 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·477465/(π·60·0.8704)) = 35.98 mm
di = 0.6·35.98 = 21.59 mm
答え
do = 35.98 mm
中実軸なら d = 34.35 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 63.25 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (90 + 60)/2 = 75 MPa
R = σ1 − C = 140 − 75 = 65 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 15²) = 63.25 MPa
答え
τxy = 63.25 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 1.923
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 45 MPa, R = 109.2 MPa
σ1 = 154.2 MPa, σ2 = −64.2 MPa, σ3 = 0
トレスカ
σmax − σmin = 218.4 MPa
n = 420/218.4 = 1.923
答え
n = 1.923
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.2433 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·2199 = 4.932 × 10⁸ N
縮み
δ = 300000·400/4.932 × 10⁸ = 0.2433 mm
答え
δ = 0.2433 mm
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 9.549 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 141.5 MPa
σ2 = 884.2 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 141.5·500/100000 = 0.7074 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 884.2·1000/100000 = 8.842 mm
δ = δ1 + δ2 = 9.549 mm
答え
δ = 9.549 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 5.712 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·6000 = 6000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/6000² = 5712 N = 5.712 kN
答え
Pcr = 5.712 kN
10.柱の座屈
答え: d = 56.54 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·55000 = 110000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·110000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 56.54 mm
答え
d = 56.54 mm
確認：細長比 KL/r は 212.2 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.05103
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(20000·12) = 979.8 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 50/979.8 = 0.05103
答え
ζ = 0.05103
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 20.75 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 60 + 25 = 85 kN/m
固有振動数
ωn = √(85000/5) = 130.4 rad/s
fn = 130.4/(2π) = 20.75 Hz
答え
fn = 20.75 Hz
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