機械設計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

歯車と歯車列

かみ合う歯車
n1·N1 = n2·N2
トルク
T2 = T1·(N2/N1)·η
電力
P = T·ω, ω = 2π·n/60
複合歯車列
全体の速比 = 各段の速比の積

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

機械振動

固有振動数
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
静たわみから
ωn = √(g/δst)
臨界減衰
cc = 2√(km) = 2mωn
減衰比
ζ = c/cc
減衰固有振動数
ωd = ωn√(1 − ζ²)
対数減衰率
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
並列ばね
k = k1 + k2
直列ばね
1/k = 1/k1 + 1/k2

2演習問題

1.歯車と歯車列ふつう
N1​ = 20N2​ = 24

1440 rpm で回転する 1.5 kW のモータが歯数 20 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 24 の歯車とかみ合っている。 損失は無視する。 歯車軸の出力トルク T2 を求めよ。

P = 1.5 kWn1 = 1440 rpmN1 = 20N2 = 24η = 100%
T2 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
d1​ = 80 mmd2​ = 200 mm1500 rpmC = 800 mmθ = ?

平行掛けのベルトが、直径 80 mm のプーリと直径 200 mm のプーリをつなぎ、その中心は 800 mm 離れています。小さいほうのプーリへの巻き付け角 θ を度で求めなさい。

d1 = 80 mmd2 = 200 mmC = 800 mm
θ = °
3.軸のねじりふつう
T = 1000 N·md = 50 mmL = 1 mφ = ?

アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
Tdo​ = 100 mm, di​ = 80 mm

中空軸が 1000 rpm で 100 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。

P = 100 kWN = 1000 rpmdo = 100 mmdi = 80 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −30σy​ = 70MPaτxy​ = ?

ある点で σₓ = −30 MPa、σᵧ = 70 MPa である。最大主応力が 80 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。

σx = −30 MPaσy = 70 MPaσ1 = 80 MPa
τxy = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​τxy​軸の表面

直径 20 mm の中実軸が軸圧縮力 190 kNとトルク 250 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。

d = 20 mmF = −190 kNT = 250 N·m
σ1 = MPa
7.軸応力とひずみふつう
Ø 30 mm銅1.5 mP = 50 kN

軸荷重を受ける銅製の棒の伸び δ を求めよ。

P = 50 kNd = 30 mmL = 1.5 mE = 117 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
P = ?Ø40120 GPaØ100/70400 mm

鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa、許容応力 120 MPa）が、銅 でできた管（外径 100 mm、内径 70 mm、E = 120 GPa、許容応力 100 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。

棒: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
PL = 1 m30 × 80 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 15 kNL = 4 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2.5 で 15 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 15 kNn = 2.5L = 4 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
tx15 mm2 周期5.5 mm

減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 15 mm の 2 周期後に 5.5 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。

x0 = 15 mmx2 = 5.5 mmn = 2
ζ =
12.機械振動むずかしい
k1​ = 60k2​ = 20m = 20 kg

20 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 60 kN/m、k₂ = 20 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。

m = 20 kgk1 = 60 kN/mk2 = 20 kN/m
keq = kN/m

3溶液

1.歯車と歯車列

答え: T2 = 11.94 N·m

歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。

モータのトルク

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1500/150.8 = 9.947 N·m

出力トルク

T2 = 9.947·24/20·1 = 11.94 N·m

答え

T2 = 11.94 N·m
2.歯車と歯車列

答え: θ = 171.4 °

ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。

ベルトの角度

asin(0.075) = 4.301°

巻き付け角

θ = 180 − 2·4.301 = 171.4°

答え

θ = 171.4°
3.軸のねじり

答え: φ = 3.591 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1000/(26000·613592) = 0.06268 rad
φ = 0.06268·180/π = 3.591°

答え

φ = 3.591°
4.軸のねじり

答え: τmax = 8.237 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 100000/104.7 = 954.9 N·m

断面二次極モーメント

J = π(100⁴ − 80⁴)/32 = 5.796 × 10⁶ mm⁴

最大せん断応力

τmax = T·(do/2)/J = 954930·50/5.796 × 10⁶ = 8.237 MPa

答え

τmax = 8.237 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τxy = 33.17 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

必要な半径

C = (−30 + 70)/2 = 20 MPa
R = σ1 − C = 80 − 20 = 60 MPa
στxyCσ1​σ2​

せん断応力

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 50²) = 33.17 MPa

答え

τxy = 33.17 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ1 = 39.33 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

表面の応力

σ = F/A = −190000/(π·20²/4) = −190000/314.2 = −604.8 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·20³) = 159.2 MPa
στxyCσ1​σ2​

モールの応力円

C = σ/2 = −302.4 MPa
R = √((−302.4)² + 159.2²) = 341.7 MPa
σ1 = C + R = 39.33 MPa
σ2 = C − R = −644.1 MPa

答え

σ1 = 39.33 MPa
7.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.9069 mm

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 50·1000/706.9 = 70.74 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 70.74/117000 = 0.0006046 = 604.6 µε

伸び

δ = ε·L = 0.0006046·1500 mm = 0.9069 mm

答え

δ = 0.9069 mm
8.軸応力とひずみ

答え: Pmax = 439.2 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·4006 = 7.32 × 10⁸ N

支配するひずみ

ε = min(0.0006, 0.0008333) = 0.0006 (鋼)

最大荷重

Pmax = 0.0006·7.32 × 10⁸ = 439195 N = 439.2 kN

答え

Pmax = 439.2 kN
9.柱の座屈

答え: Pcr = 88.83 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·1000 = 2000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/2000² = 88826 N = 88.83 kN

答え

Pcr = 88.83 kN
10.柱の座屈

答え: d = 35.27 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·15000 = 37500 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 35.27 mm

答え

d = 35.27 mm

確認：細長比 KL/r は 226.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.機械振動

答え: ζ = 0.07959

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

対数減衰率

δ = (1/2)·ln(15/5.5) = 0.5017

減衰比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5017/√(39.48 + 0.2517) = 0.07959

答え

ζ = 0.07959
12.機械振動

答え: keq = 80 kN/m

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

等価ばね定数

並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。

keq = 60 + 20 = 80 kN/m

答え

keq = 80 kN/m

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