歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2 本の平行軸の間隔は 112.5 mm である。これらをモジュール 3 mm、減速比 1.5 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。 ピニオンの歯数 N1 はいくつ必要か。
a = 112.5 mmm = 3 mmi = 1.5
N1 =
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、3000 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 32）が歯車 B（歯数 50）を駆動する。歯車 C（歯数 30）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 36）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 3000 rpmA = 32B = 50C = 30D = 36
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
ねじり試験で、直径 15 mm の中実試験片をトルク 20 N·m でねじる。標点距離 400 mm の両端は互いに 2.36° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。
T = 20 N·md = 15 mmL = 400 mmφ = 2.36°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 500 rpm で 15 kW を伝達し、せん断応力が 50 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 15 kWN = 500 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 100 MPa、σᵧ = 0 MPa、τₓᵧ = 40 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 50°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = 100 MPaσy = 0 MPaτxy = 40 MPaθ = 50°
σy′ = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 500 mm、肉厚 10 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 0.8 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 55° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。
D = 500 mmt = 10 mmp = 0.8 MPaα = 55°
σn = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 50 mm、長さ 300 mm、E = 70 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.2 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 90 kN区間 1：Ø40 mm、2 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø12 mm、1.5 m、銅（E = 117 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 30 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
10 kg の質量が、ばね定数 40 kN/m のばねと、減衰係数 320 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 10 kgk = 40 kN/mc = 320 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
40 kg の質量がばね k₃ = 12 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 10 kN/m と k₂ = 25 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 40 kgk1 = 10 kN/mk2 = 25 kN/mk3 = 12 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: N1 = 30
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
歯数の合計
N1 + N2 = 2a/m = 2·112.5/3 = 75
比で分ける
N1 = 75/(1 + 1.5) = 30
答え
N1 = 30
2.歯車と歯車列
答え: nout = 1600 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 3000·32/50 = 1920 rpm = nC
第 2 段
nout = 1920·30/36 = 1600 rpm
答え
nout = 1600 rpm
全体の速比 = 1.875 : 1
3.軸のねじり
答え: G = 39.08 GPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメントと角度
J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 2.36·π/180 = 0.04119 rad
横弾性係数
T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·400/(4970·0.04119) = 39078 MPa
G = 39.08 GPa
答え
G = 39.08 GPa
比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。
4.軸のねじり
答え: d = 30.79 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 15000/52.36 = 286.5 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·286479/(π·50)) = 30.79 mm
答え
d = 30.79 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = 19.29 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = 50 − 50·(−0.1736) − 40·0.9848 = 19.29 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = 80.71 MPa, σx′ + σy′ = 100 = σx + σy
答え
σy′ = 19.29 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σn = 13.29 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 0.8·250/10 = 20 MPa
σa = pr/(2t) = 10 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
σn = 10·sin²55° + 20·cos²55° = 13.29 MPa
答え
σn = 13.29 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 27.49 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1963 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490.9) = 5.093 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·1963) = 2.183 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.2/7.276 × 10⁻⁶ = 27489 N = 27.49 kN
答え
P = 27.49 kN
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 795.8 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 71.62 MPa
σ2 = 795.8 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 795.8 MPa
答え
σmax = 795.8 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 27.04 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2800² = 27035 N = 27.04 kN
答え
Pcr = 27.04 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 19.83 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/7.5 = 186.7
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/186.7² = 19.83 MPa
答え
σcr = 19.83 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.253
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(40000·10) = 1265 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 320/1265 = 0.253
答え
ζ = 0.253
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 2.379 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 10 + 25 = 35 kN/m
keq = 35·12/(35 + 12) = 8.936 kN/m
固有振動数
ωn = √(8936/40) = 14.95 rad/s
fn = 14.95/(2π) = 2.379 Hz
答え
fn = 2.379 Hz
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