歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
直径 100 mm のプーリが 1440 rpm で回り、滑り 2 % のベルトで直径 250 mm のプーリを駆動します。従動プーリの回転速度 n2 を求めなさい。
n1 = 1440 rpmd1 = 100 mmd2 = 250 mms = 2 %
n2 = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、1440 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 16）が歯車 B（歯数 24）を駆動する。歯車 C（歯数 15）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 16）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 1440 rpmA = 16B = 24C = 15D = 16
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
ねじり試験で、直径 10 mm の中実試験片をトルク 50 N·m でねじる。標点距離 300 mm の両端は互いに 10.94° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。
T = 50 N·md = 10 mmL = 300 mmφ = 10.94°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
直径 50 mm の黄銅製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 1.2 m、B から 3 m の C にトルク 200 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 50 mmT0 = 200 N·ma = 1.2 mb = 3 m
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 150 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = 10 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 150 MPaσy = −30 MPaτxy = 10 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −80 MPa、σᵧ = −80 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 45° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = −80 MPaσy = −80 MPaτxy = −20 MPaθ = 45°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 30 kNd = 30 mmL = 1 mE = 117 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa、許容応力 200 MPa）が、黄銅 でできた管（外径 120 mm、内径 50 mm、E = 100 GPa、許容応力 60 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 3 で 60 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 60 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 12 mm の 5 周期後に 2.5 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 12 mmx5 = 2.5 mmn = 5
ζ =
12.機械振動むずかしい
10 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 80 kN/m、下のばねは k₂ = 50 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 10 kgk1 = 80 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: n2 = 564.5 rpm
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
滑りなしの回転速度
1440·100/250 = 576 rpm
滑りあり
n2 = 576·0.98 = 564.5 rpm
答え
n2 = 564.5 rpm
2.歯車と歯車列
答え: nout = 900 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 1440·16/24 = 960 rpm = nC
第 2 段
nout = 960·15/16 = 900 rpm
答え
nout = 900 rpm
全体の速比 = 1.6 : 1
3.軸のねじり
答え: G = 80.02 GPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメントと角度
J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴
φ = 10.94·π/180 = 0.1909 rad
横弾性係数
T = 50 N·m = 50000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 50000·300/(981.7·0.1909) = 80020 MPa
G = 80.02 GPa
答え
G = 80.02 GPa
比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。
4.軸のねじり
答え: τmax = 5.821 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。
つり合いと適合条件
TA + TB = 200
TA·a = TB·b
TA = 200·3/4.2 = 142.9 N·m
TB = 200·1.2/4.2 = 57.14 N·m
最大せん断応力
2 つのトルクのうち大きい方で決まります（直径が同じ場合）。
τmax = 16·142857/(π·50³) = 5.821 MPa
答え
τmax = 5.821 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 3.17 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·10, 150 − −30) = 6.34°
要素上の角度
θp = 3.17°
答え
θp = 3.17°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = −100 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = −80 + 0·0 + −20·1 = −100 MPa
答え
σθ = −100 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.3627 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 30·1000/706.9 = 42.44 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 42.44/117000 = 0.0003627 = 362.7 µε
伸び
δ = ε·L = 0.0003627·1000 mm = 0.3627 mm
答え
δ = 0.3627 mm
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 619.7 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·9346 = 1.033 × 10⁹ N
支配するひずみ
ε = min(0.001, 0.0006) = 0.0006 (黄銅)
最大荷重
Pmax = 0.0006·1.033 × 10⁹ = 619679 N = 619.7 kN
答え
Pmax = 619.7 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 537.1 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/1750² = 537121 N = 537.1 kN
答え
Pcr = 537.1 kN
10.柱の座屈
答え: d = 58.37 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·60000 = 180000 N
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 58.37 mm
答え
d = 58.37 mm
確認：細長比 KL/r は 171.3 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.04987
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/5)·ln(12/2.5) = 0.3137
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3137/√(39.48 + 0.09842) = 0.04987
答え
ζ = 0.04987
12.機械振動
答え: fn = 8.828 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/80 + 1/50 → keq = 80·50/(80 + 50) = 30.77 kN/m
固有振動数
ωn = √(30769/10) = 55.47 rad/s
fn = 55.47/(2π) = 8.828 Hz
答え
fn = 8.828 Hz
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