歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
直径 160 mm のプーリが 960 rpm で回り、滑り 1.5 % のベルトで直径 500 mm のプーリを駆動します。従動プーリの回転速度 n2 を求めなさい。
n1 = 960 rpmd1 = 160 mmd2 = 500 mms = 1.5 %
n2 = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
960 rpm の 11 kW のモータが歯車 A（歯数 30）を駆動し、A は歯車 B（歯数 60）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 16）が出力軸の歯車 D（歯数 50）を駆動する。各かみ合いの効率は 97% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 11 kWnin = 960 rpmA = 30B = 60C = 16D = 50ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 50 mm、長さ 3 m、区間 BC は直径 40 mm、長さ 3 m である。自由端 C にトルク 500 N·m が作用する。 端 C のねじれ角 φC を度で求めよ。
T = 500 N·md1 = 50 mm, L1 = 3 md2 = 40 mm, L2 = 3 mG = 26 GPa
φC = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1450 rpm で 15 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 15 kWN = 1450 rpmdo = 50 mmdi = 40 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 100 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 100 MPaσy = 20 MPaτxy = −30 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −50 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 30° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = −50 MPaσy = 110 MPaτxy = −20 MPaθ = 30°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 30 mm、長さ 500 mm、E = 70 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.3 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa、許容応力 250 MPa）が、青銅 でできた管（外径 100 mm、内径 60 mm、E = 110 GPa、許容応力 100 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2.5 で 20 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 20 kNn = 2.5L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
5 kg の質量が、ばね定数 80 kN/m のばねと、減衰係数 250 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 5 kgk = 80 kN/mc = 250 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
40 kg の質量がばね k₃ = 30 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 30 kN/m と k₂ = 15 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 40 kgk1 = 30 kN/mk2 = 15 kN/mk3 = 30 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: n2 = 302.6 rpm
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
滑りなしの回転速度
960·160/500 = 307.2 rpm
滑りあり
n2 = 307.2·0.985 = 302.6 rpm
答え
n2 = 302.6 rpm
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 643.5 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
出力回転数
nout = 960·(30/60)·(16/50) = 153.6 rpm
ωout = 2π·153.6/60 = 16.08 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 11000·0.97² = 10350 W
Tout = Pout/ωout = 10350/16.08 = 643.5 N·m
答え
Tout = 643.5 N·m
3.軸のねじり
答え: φC = 18.54 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J1 = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
J2 = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
各区間のねじれ角
T = 500 N·m = 500000 N·mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 500000·3000/(26000·613592) = 0.09402 rad
φBC = 500000·3000/(26000·251327) = 0.2296 rad
全ねじれ角
φC = 0.09402 + 0.2296 = 0.3236 rad = 18.54°
答え
φC = 18.54°
4.軸のねじり
答え: τmax = 6.817 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 15000/151.8 = 98.79 N·m
断面二次極モーメント
J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 98786·25/362265 = 6.817 MPa
答え
τmax = 6.817 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 50 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((100 − 20)/2)² + −30²) = 50 MPa
答え
τmax = 50 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = −27.32 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 30 + −80·0.5 + −20·0.866 = −27.32 MPa
答え
σθ = −27.32 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 21.16 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490.9) = 4.074 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·706.9) = 1.011 × 10⁻⁵ mm/N
荷重
P = 0.3/1.418 × 10⁻⁵ = 21157 N = 21.16 kN
答え
P = 21.16 kN
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 631.2 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·5027 = 6.943 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.00125, 0.0009091) = 0.0009091 (青銅)
最大荷重
Pmax = 0.0009091·6.943 × 10⁸ = 631175 N = 631.2 kN
答え
Pmax = 631.2 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 44.29 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1400² = 44295 N = 44.29 kN
答え
Pcr = 44.29 kN
10.柱の座屈
答え: d = 55.1 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·20000 = 50000 N
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 55.1 mm
答え
d = 55.1 mm
確認：細長比 KL/r は 181.5 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.1976
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(80000·5) = 1265 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 250/1265 = 0.1976
答え
ζ = 0.1976
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 3.376 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 30 + 15 = 45 kN/m
keq = 45·30/(45 + 30) = 18 kN/m
固有振動数
ωn = √(18000/40) = 21.21 rad/s
fn = 21.21/(2π) = 3.376 Hz
答え
fn = 3.376 Hz
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