歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
ベルトが、直径 100 mm の駆動プーリ上を 2880 rpm で走っています。張力は張り側で 500 N、緩み側で 125 N です。伝達される動力 P を kW で求めなさい。
d1 = 100 mmn1 = 2880 rpmT1 = 500 NT2 = 125 N
P = kW
2.歯車と歯車列むずかしい
遊星歯車装置で、太陽歯車の歯数は 20、各遊星歯車の歯数は 18 である。遊星キャリヤを固定し、太陽歯車を 600 rpm で駆動する。リングギヤの回転速度 nr（大きさ）を求めよ。
Ns = 20Np = 18ns = 600 rpm
nr = rpm
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 2000 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.75 倍とし、せん断応力は 80 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 2000 N·mdi/do = 0.75τallow = 80 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 500 rpm で 30 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 30 kWN = 500 rpmdo = 40 mmdi = 32 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 50 MPa、σᵧ = −40 MPa、τₓᵧ = 20 MPa である（引張を正とする）。要素を時計回りに 20°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = 50 MPaσy = −40 MPaτxy = 20 MPaθ = -20°
σy′ = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 130 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = −30 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 275 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 130 MPaσy = −20 MPaτxy = −30 MPaσY = 275 MPa
n =
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 50 mm、長さ 300 mm、E = 70 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.3 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 60 kN区間 1：Ø30 mm、0.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø16 mm、1.5 m、黄銅（E = 100 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 3 で 45 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 45 kNn = 3L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
12 kg の質量が、ばね定数 50 kN/m のばねと、減衰係数 390 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 12 kgk = 50 kN/mc = 390 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
25 kg の質量がばね k₃ = 50 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 80 kN/m と k₂ = 20 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 25 kgk1 = 80 kN/mk2 = 20 kN/mk3 = 50 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: P = 5.655 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの速さ
v = 15.08 m/s
電力
P = (500 − 125)·15.08 = 5655 W = 5.655 kW
答え
P = 5.655 kW
2.歯車と歯車列
答え: nr = 214.3 rpm
遊星歯車装置：太陽歯車、リング、キャリヤの回転速度はウィリスの式 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns で結ばれます：キャリヤから見ると、遊星歯車をアイドラとする普通の歯車列です。1 つの要素を固定すると、単一の減速比をもつ減速機になります。
リングギヤの歯数
Nr = Ns + 2·Np = 20 + 2·18 = 56
キャリヤ固定時のウィリスの式
nc = 0 のとき、太陽歯車はアイドラとして働く遊星歯車を介してリングを駆動します。
nr = −ns·Ns/Nr = −600·20/56 = −214.3 rpm
|nr| = 214.3 rpm
答え
nr = 214.3 rpm
リングは太陽歯車と逆向きに回転します。
3.軸のねじり
答え: do = 57.11 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·80·0.6836)) = 57.11 mm
di = 0.75·57.11 = 42.83 mm
答え
do = 57.11 mm
中実軸なら d = 50.31 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: τmax = 77.23 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 30000/52.36 = 573 N·m
断面二次極モーメント
J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 572958·20/148384 = 77.23 MPa
答え
τmax = 77.23 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = −16.62 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = 5 − 45·0.766 − 20·(−0.6428) = −16.62 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = 26.62 MPa, σx′ + σy′ = 10 = σx + σy
答え
σy′ = −16.62 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 1.702
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 55 MPa, R = 80.78 MPa
σ1 = 135.8 MPa, σ2 = −25.78 MPa, σ3 = 0
トレスカ
σmax − σmin = 161.6 MPa
n = 275/161.6 = 1.702
答え
n = 1.702
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
7.軸応力とひずみ
答え: P = 65.65 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·1963) = 2.183 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.3/4.57 × 10⁻⁶ = 65645 N = 65.65 kN
答え
P = 65.65 kN
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 5.083 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 84.88 MPa
σ2 = 298.4 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 84.88·500/70000 = 0.6063 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 298.4·1500/100000 = 4.476 mm
δ = δ1 + δ2 = 5.083 mm
答え
δ = 5.083 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 5.895 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/2500² = 5895 N = 5.895 kN
答え
Pcr = 5.895 kN
10.柱の座屈
答え: d = 49.94 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·45000 = 135000 N
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·1250²/(π³·70000))^(1/4) = 49.94 mm
答え
d = 49.94 mm
確認：細長比 KL/r は 100.1 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.2517
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(50000·12) = 1549 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 390/1549 = 0.2517
答え
ζ = 0.2517
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 5.812 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 80 + 20 = 100 kN/m
keq = 100·50/(100 + 50) = 33.33 kN/m
固有振動数
ωn = √(33333/25) = 36.51 rad/s
fn = 36.51/(2π) = 5.812 Hz
答え
fn = 5.812 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design