歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1440 rpm で回転する 15 kW のモータが歯数 12 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 30 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 97% である。 歯車軸の出力トルク T2 を求めよ。
P = 15 kWn1 = 1440 rpmN1 = 12N2 = 30η = 97%
T2 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、1440 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 24）が歯車 B（歯数 32）を駆動する。歯車 C（歯数 48）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 50）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 1440 rpmA = 24B = 32C = 48D = 50
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
長さ 2 m の黄銅製の中実軸がトルク 250 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 1.5° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
T = 250 N·mL = 2 mG = 39 GPaφallow = 1.5°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 300 rpm で 100 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.6 倍とし、せん断応力は 60 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 100 kWN = 300 rpmdi/do = 0.6τallow = 60 MPa
do = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 40 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 40 MPaσy = −60 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 120 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 350 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 120 MPaσy = 10 MPaτxy = 30 MPaσY = 350 MPa
n =
7.軸応力とひずみふつう
鋼製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 45 kNd = 12 mmL = 1.5 mE = 200 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 50 kN区間 1：Ø40 mm、1 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø20 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
8 kg の質量が、ばね定数 1 kN/m のばねと、減衰係数 20 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 8 kgk = 1 kN/mc = 20 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
20 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 15 kN/m、k₂ = 5 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 20 kgk1 = 15 kN/mk2 = 5 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T2 = 241.2 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/150.8 = 99.47 N·m
出力トルク
T2 = 99.47·30/12·0.97 = 241.2 N·m
答え
T2 = 241.2 N·m
2.歯車と歯車列
答え: nout = 1037 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 1440·24/32 = 1080 rpm = nC
第 2 段
nout = 1080·48/50 = 1037 rpm
答え
nout = 1037 rpm
全体の速比 = 1.389 : 1
3.軸のねじり
答え: d = 47.26 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
必要な断面二次極モーメント
T = 250 N·m = 250000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad
J = TL/(Gφ) = 250000·2000/(39000·0.02618) = 489708 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 47.26 mm
答え
d = 47.26 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
4.軸のねじり
答え: do = 67.71 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 100000/31.42 = 3183 N·m
許容応力からの外径
T = 3183 N·m = 3.183 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·3.183 × 10⁶/(π·60·0.8704)) = 67.71 mm
di = 0.6·67.71 = 40.63 mm
答え
do = 67.71 mm
中実軸なら d = 64.65 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 58.31 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((40 − −60)/2)² + 30²) = 58.31 MPa
答え
τmax = 58.31 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 2.742
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 65 MPa, R = 62.65 MPa
σ1 = 127.6 MPa, σ2 = 2.35 MPa, σ3 = 0
トレスカ
σmax − σmin = 127.6 MPa
n = 350/127.6 = 2.742
答え
n = 2.742
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 1989 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 45·1000/113.1 = 397.9 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 397.9/200000 = 0.001989 = 1989 µε
答え
ε = 1989 µε
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 159.2 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 39.79 MPa
σ2 = 159.2 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 159.2 MPa
答え
σmax = 159.2 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 84.6 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/1050² = 84597 N = 84.6 kN
答え
Pcr = 84.6 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 4.441 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·5000 = 10000 mm
KL/r = 10000/15 = 666.7
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666.7² = 4.441 MPa
答え
σcr = 4.441 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.1118
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(1000·8) = 178.9 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 20/178.9 = 0.1118
答え
ζ = 0.1118
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 5.033 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 15 + 5 = 20 kN/m
固有振動数
ωn = √(20000/20) = 31.62 rad/s
fn = 31.62/(2π) = 5.033 Hz
答え
fn = 5.033 Hz
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