歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
条数 1 のウォームが 2900 rpm で回転し、歯数 48 のウォームホイールを駆動する。ホイールの回転速度 nw を求めよ。
z = 1Nw = 48n = 2900 rpm
nw = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
1450 rpm の 1.5 kW のモータが歯車 A（歯数 30）を駆動し、A は歯車 B（歯数 45）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 15）が出力軸の歯車 D（歯数 60）を駆動する。各かみ合いの効率は 95% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 1.5 kWnin = 1450 rpmA = 30B = 45C = 15D = 60ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
鋼製の中空軸（外径 40 mm、内径 24 mm、長さ 1.2 m）が一端で固定され、他端でトルク 400 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 400 N·mdo = 40 mmdi = 24 mmL = 1.2 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1000 rpm で 50 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.7 倍とし、せん断応力は 75 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 50 kWN = 1000 rpmdi/do = 0.7τallow = 75 MPa
do = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −70 MPa、σᵧ = 40 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 20°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = −70 MPaσy = 40 MPaτxy = −30 MPaθ = 20°
σy′ = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −50 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 30° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = −50 MPaσy = 60 MPaτxy = 30 MPaθ = 30°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 120 mm、内径 70 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 300 mm で、剛な板の間で 150 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 150 kN棒: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 45 kN区間 1：Ø35 mm、1.5 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø16 mm、0.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 80 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 50 mm の 1 周期後に 36.5 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 50 mmx1 = 36.5 mmn = 1
ζ =
12.機械振動むずかしい
40 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 100 kN/m、k₂ = 100 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 40 kgk1 = 100 kN/mk2 = 100 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: nw = 60.42 rpm
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
ホイールの回転速度
nw = n·z/Nw = 2900·1/48 = 60.42 rpm
答え
nw = 60.42 rpm
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 53.49 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
出力回転数
nout = 1450·(30/45)·(15/60) = 241.7 rpm
ωout = 2π·241.7/60 = 25.31 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 1500·0.95² = 1354 W
Tout = Pout/ωout = 1354/25.31 = 53.49 N·m
答え
Tout = 53.49 N·m
3.軸のねじり
答え: φ = 1.572 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴
ねじれ角
T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 400000·1200/(80000·218755) = 0.02743 rad
φ = 0.02743·180/π = 1.572°
答え
φ = 1.572°
4.軸のねじり
答え: do = 34.94 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 50000/104.7 = 477.5 N·m
許容応力からの外径
T = 477.5 N·m = 477465 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·477465/(π·75·0.7599)) = 34.94 mm
di = 0.7·34.94 = 24.46 mm
答え
do = 34.94 mm
中実軸なら d = 31.89 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = 46.42 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = −15 − (−55)·0.766 − (−30)·0.6428 = 46.42 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = −76.42 MPa, σx′ + σy′ = −30 = σx + σy
答え
σy′ = 46.42 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 3.481 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 5 + −55·0.5 + 30·0.866 = 3.481 MPa
答え
σθ = 3.481 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.05093 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·7461 = 8.836 × 10⁸ N
縮み
δ = 150000·300/8.836 × 10⁸ = 0.05093 mm
答え
δ = 0.05093 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 223.8 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 46.77 MPa
σ2 = 223.8 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 223.8 MPa
答え
σmax = 223.8 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 255.9 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/1500² = 255879 N = 255.9 kN
答え
Pcr = 255.9 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 22.56 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/20 = 175
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/175² = 22.56 MPa
答え
σcr = 22.56 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.05003
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/1)·ln(50/36.5) = 0.3147
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3147/√(39.48 + 0.09904) = 0.05003
答え
ζ = 0.05003
12.機械振動
答え: fn = 11.25 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 100 + 100 = 200 kN/m
固有振動数
ωn = √(200000/40) = 70.71 rad/s
fn = 70.71/(2π) = 11.25 Hz
答え
fn = 11.25 Hz
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