歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1440 rpm で回転する 4 kW のモータが歯数 16 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 30 の歯車とかみ合っている。 損失は無視する。 モータ軸のトルク T1 を求めよ。
P = 4 kWn1 = 1440 rpmN1 = 16N2 = 30η = 100%
T1 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
1450 rpm の 3 kW のモータが歯車 A（歯数 15）を駆動し、A は歯車 B（歯数 18）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 16）が出力軸の歯車 D（歯数 30）を駆動する。各かみ合いの効率は 98% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 3 kWnin = 1450 rpmA = 15B = 18C = 16D = 30ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 1000 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.6 倍とし、せん断応力は 40 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 1000 N·mdi/do = 0.6τallow = 40 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
直径 60 mm の黄銅製の中実軸が A で固定されている。A から 2.5 m の B にトルク 400 N·m が作用し、さらに 3 m 先の自由端 C に同じ向きのトルク 750 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 60 mmTB = 400 N·mTC = 750 N·mAB = 2.5 mBC = 3 m
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −10 MPa、σᵧ = 70 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = −10 MPaσy = 70 MPaτxy = 50 MPa
θs = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 0 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 30° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 0 MPaσy = −70 MPaτxy = 50 MPaθ = 30°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 105 kNd = 12 mmL = 0.5 mE = 117 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 40 kN区間 1：Ø25 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø20 mm、0.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 20 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 40 mm の 3 周期後に 6 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 40 mmx3 = 6 mmn = 3
ζ =
12.機械振動むずかしい
20 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 60 kN/m、下のばねは k₂ = 10 kN/m である。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 20 kgk1 = 60 kN/mk2 = 10 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T1 = 26.53 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 4000/150.8 = 26.53 N·m
答え
T1 = 26.53 N·m
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 42.69 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
出力回転数
nout = 1450·(15/18)·(16/30) = 644.4 rpm
ωout = 2π·644.4/60 = 67.49 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 3000·0.98² = 2881 W
Tout = Pout/ωout = 2881/67.49 = 42.69 N·m
答え
Tout = 42.69 N·m
3.軸のねじり
答え: do = 52.69 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·40·0.8704)) = 52.69 mm
di = 0.6·52.69 = 31.61 mm
答え
do = 52.69 mm
中実軸なら d = 50.31 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: τmax = 27.12 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 750 N·m
TAB = TC + TB = 750 + 400 = 1150 N·m
最大せん断応力
内部トルクが最大の区間で応力が最大になります（直径が同じ場合）。
|T|max = 1150 N·m
τmax = 16·1.15 × 10⁶/(π·60³) = 27.12 MPa
答え
τmax = 27.12 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θs = 19.33 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。
cos 2θs = 50/64.03 = 0.7809, sin 2θs = −(−40)/64.03 = 0.6247
2θs = atan2(40, 50) = 38.66°
要素上の角度
θs = 19.33°
確認: θs − θp = 19.33 − 64.33 = −45°
答え
θs = 19.33°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 25.8 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = −35 + 35·0.5 + 50·0.866 = 25.8 MPa
答え
σθ = 25.8 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 3.968 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 105·1000/113.1 = 928.4 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 928.4/117000 = 0.007935 = 7935 µε
伸び
δ = ε·L = 0.007935·500 mm = 3.968 mm
答え
δ = 3.968 mm
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 2.656 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 81.49 MPa
σ2 = 127.3 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 81.49·1500/70000 = 1.746 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 127.3·500/70000 = 0.9095 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.656 mm
答え
δ = 2.656 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 2.591 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·6000 = 6000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/6000² = 2591 N = 2.591 kN
答え
Pcr = 2.591 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 49.35 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 1·1000 = 1000 mm
KL/r = 1000/5 = 200
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa
答え
σcr = 49.35 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.1001
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/3)·ln(40/6) = 0.6324
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6324/√(39.48 + 0.3999) = 0.1001
答え
ζ = 0.1001
12.機械振動
答え: keq = 8.571 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/60 + 1/10 → keq = 60·10/(60 + 10) = 8.571 kN/m
答え
keq = 8.571 kN/m
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