歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2 本の平行軸の間隔は 300 mm である。これらをモジュール 4 mm、減速比 5 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。 歯車の歯数 N2 はいくつ必要か。
a = 300 mmm = 4 mmi = 5
N2 =
2.歯車と歯車列むずかしい
960 rpm の 2.2 kW のモータが歯車 A（歯数 12）を駆動し、A は歯車 B（歯数 25）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 15）が出力軸の歯車 D（歯数 18）を駆動する。各かみ合いの効率は 95% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 2.2 kWnin = 960 rpmA = 12B = 25C = 15D = 18ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 50 mm、長さ 0.8 m、区間 BC は直径 40 mm、長さ 3 m である。自由端 C にトルク 500 N·m が作用する。 端 C のねじれ角 φC を度で求めよ。
T = 500 N·md1 = 50 mm, L1 = 0.8 md2 = 40 mm, L2 = 3 mG = 26 GPa
φC = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 50 mm の黄銅製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 1.5 m、B から 0.5 m の C にトルク 750 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 50 mmT0 = 750 N·ma = 1.5 mb = 0.5 m
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 100 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = −10 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = 100 MPaσy = 110 MPaτxy = −10 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 40 mm の中実軸が軸引張力 60 kNとトルク 400 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。
d = 40 mmF = 60 kNT = 400 N·m
σ1 = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 50 mm、長さ 400 mm、E = 110 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.3 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 80 kN区間 1：Ø25 mm、1 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø16 mm、0.5 m、銅（E = 117 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2 で 10 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 10 kNn = 2L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 10 mm の 1 周期後に 3.9 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 10 mmx1 = 3.9 mmn = 1
ζ =
12.機械振動むずかしい
20 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 15 kN/m、k₂ = 25 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 20 kgk1 = 15 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: N2 = 125
歯車の幾何：モジュール m が歯の大きさを決めます。歯数 N の歯車のピッチ円直径は d = m·N、かみ合う 2 つの歯車のモジュールは等しく、中心距離は a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 です。ピッチ円周速度は v = π·d·n/60 で、接線方向の歯面力はトルクから Ft = 2T/d となります。
歯数の合計
N1 + N2 = 2a/m = 2·300/4 = 150
比で分ける
N1 = 150/(1 + 5) = 25
N2 = 5·25 = 125
答え
N2 = 125
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 49.38 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
出力回転数
nout = 960·(12/25)·(15/18) = 384 rpm
ωout = 2π·384/60 = 40.21 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 2200·0.95² = 1986 W
Tout = Pout/ωout = 1986/40.21 = 49.38 N·m
答え
Tout = 49.38 N·m
3.軸のねじり
答え: φC = 14.59 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J1 = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
J2 = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
各区間のねじれ角
T = 500 N·m = 500000 N·mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 500000·800/(26000·613592) = 0.02507 rad
φBC = 500000·3000/(26000·251327) = 0.2296 rad
全ねじれ角
φC = 0.02507 + 0.2296 = 0.2546 rad = 14.59°
答え
φC = 14.59°
4.軸のねじり
答え: τmax = 22.92 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。
つり合いと適合条件
TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·0.5/2 = 187.5 N·m
TB = 750·1.5/2 = 562.5 N·m
最大せん断応力
2 つのトルクのうち大きい方で決まります（直径が同じ場合）。
τmax = 16·562500/(π·50³) = 22.92 MPa
答え
τmax = 22.92 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 58.09 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = 105 MPa, R = √((−5)² + (−10)²) = 11.18 MPa
σ1 = 116.2 MPa, σ2 = 93.82 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(22.36, 116.2, 93.82)/2 = 58.09 MPa
答え
τabs = 58.09 MPa
ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σ1 = 63.66 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = 60000/(π·40²/4) = 60000/1257 = 47.75 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·40³) = 31.83 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 23.87 MPa
R = √(23.87² + 31.83²) = 39.79 MPa
σ1 = C + R = 63.66 MPa
σ2 = C − R = −15.92 MPa
答え
σ1 = 63.66 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 61.13 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1963 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490.9) = 3.056 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·1963) = 1.852 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.3/4.908 × 10⁻⁶ = 61128 N = 61.13 kN
答え
P = 61.13 kN
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 3.093 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 163 MPa
σ2 = 397.9 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 163·1000/117000 = 1.393 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 397.9·500/117000 = 1.7 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.093 mm
答え
δ = 3.093 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 35.88 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3500² = 35879 N = 35.88 kN
答え
Pcr = 35.88 kN
10.柱の座屈
答え: d = 24 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·10000 = 20000 N
KL = 0.5·1500 = 750 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·20000·750²/(π³·70000))^(1/4) = 24 mm
答え
d = 24 mm
確認：細長比 KL/r は 125 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.1482
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/1)·ln(10/3.9) = 0.9416
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.9416/√(39.48 + 0.8866) = 0.1482
答え
ζ = 0.1482
12.機械振動
答え: fn = 7.118 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 15 + 25 = 40 kN/m
固有振動数
ωn = √(40000/20) = 44.72 rad/s
fn = 44.72/(2π) = 7.118 Hz
答え
fn = 7.118 Hz
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