歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1440 rpm で回転する 0.75 kW のモータが歯数 60 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 80 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 98% である。 歯車軸の出力トルク T2 を求めよ。
P = 0.75 kWn1 = 1440 rpmN1 = 60N2 = 80η = 98%
T2 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、200 rpm の直径 1450 mm の駆動プーリと直径 450 mm のプーリをつなぎ、中心は 500 mm 離れています。摩擦係数は 0.25 で、張り側の張力は 800 N を超えてはなりません。ベルトが滑らずに伝達できる最大動力 P を kW で求めなさい（遠心力の影響は無視します）。
d1 = 200 mmn1 = 1450 rpmd2 = 450 mmC = 500 mmμ = 0.25T1 = 800 N
P = kW
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中空軸（外径 30 mm、内径 23 mm、長さ 1.2 m）が一端で固定され、他端でトルク 250 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 250 N·mdo = 30 mmdi = 23 mmL = 1.2 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
鋼製の中実軸が 1500 rpm で 50 kW を伝達する。せん断応力は 75 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.75° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 50 kWN = 1500 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.75°/mG = 80 GPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 130 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 130 MPaσy = −70 MPaτxy = −50 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 130 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から時計回りに 30° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 130 MPaσy = −30 MPaτxy = −60 MPaθ = -30°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける黄銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 30 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 100 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa、許容応力 120 MPa）が、アルミニウム でできた管（外径 120 mm、内径 60 mm、E = 70 GPa、許容応力 70 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 115 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 115 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
ばね定数 10 kN/m のばねにつながれた 5 kg の質量に、減衰比 0.4 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 5 kgk = 10 kN/mζ = 0.4
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
40 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 5 kN/m、k₂ = 80 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 40 kgk1 = 5 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T2 = 6.499 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 750/150.8 = 4.974 N·m
出力トルク
T2 = 4.974·80/60·0.98 = 6.499 N·m
答え
T2 = 6.499 N·m
2.歯車と歯車列
答え: P = 5.863 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
巻き付け角
θ = 2.636 rad
緩み側の張力
eμθ = e0.6591 = 1.933, T₂ = 800/1.933 = 413.9 N
電力
P = (800 − 413.9)·15.18 = 5.863 kW
答え
P = 5.863 kW
3.軸のねじり
答え: φ = 12.7 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π(30⁴ − 23⁴)/32 = 52048 mm⁴
ねじれ角
T = 250 N·m = 250000 N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 250000·1200/(26000·52048) = 0.2217 rad
φ = 0.2217·180/π = 12.7°
答え
φ = 12.7°
4.軸のねじり
答え: d = 41.95 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 50000/157.1 = 318.3 N·m
強度から決まる直径
T = 318.3 N·m = 318310 N·mm
dτ = ∛(16·318310/(π·75)) = 27.86 mm
剛性から決まる直径
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·318310/(π·80000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 41.95 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(27.86, 41.95) = 41.95 mm
答え
d = 41.95 mm
ここでは剛性で決まります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = −13.28 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·−50, 130 − −70) = −26.57°
要素上の角度
θp = −13.28°
答え
θp = −13.28°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 142 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 50 + 80·0.5 + −60·−0.866 = 142 MPa
答え
σθ = 142 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.4775 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 30·1000/314.2 = 95.49 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 95.49/100000 = 0.0009549 = 954.9 µε
伸び
δ = ε·L = 0.0009549·500 mm = 0.4775 mm
答え
δ = 0.4775 mm
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 441.1 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·706.9 + 70·10³·8482 = 7.351 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.0006, 0.001) = 0.0006 (鋼)
最大荷重
Pmax = 0.0006·7.351 × 10⁸ = 441080 N = 441.1 kN
答え
Pmax = 441.1 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 9.646 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1500 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3000² = 9646 N = 9.646 kN
答え
Pcr = 9.646 kN
10.柱の座屈
答え: d = 65.68 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·115000 = 230000 N
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·230000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 65.68 mm
答え
d = 65.68 mm
確認：細長比 KL/r は 170.5 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: fd = 6.523 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(10000/5) = 44.72 rad/s
fn = 44.72/(2π) = 7.118 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 7.118·√(1 − 0.4²) = 6.523 Hz
答え
fd = 6.523 Hz
12.機械振動
答え: fn = 7.337 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 5 + 80 = 85 kN/m
固有振動数
ωn = √(85000/40) = 46.1 rad/s
fn = 46.1/(2π) = 7.337 Hz
答え
fn = 7.337 Hz
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