歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
直径 120 mm のプーリが 960 rpm で回り、滑り 4 % のベルトで直径 500 mm のプーリを駆動します。従動プーリの回転速度 n2 を求めなさい。
n1 = 960 rpmd1 = 120 mmd2 = 500 mms = 4 %
n2 = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、80 rpm の直径 1440 mm の駆動プーリと直径 250 mm のプーリをつなぎ、中心は 1000 mm 離れています。摩擦係数は 0.35 で、張り側の張力は 1500 N を超えてはなりません。ベルトが滑らずに伝達できる最大動力 P を kW で求めなさい（遠心力の影響は無視します）。
d1 = 80 mmn1 = 1440 rpmd2 = 250 mmC = 1000 mmμ = 0.35T1 = 1500 N
P = kW
3.軸のねじりふつう
ねじり試験で、直径 15 mm の中実試験片をトルク 75 N·m でねじる。標点距離 300 mm の両端は互いに 9.98° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。
T = 75 N·md = 15 mmL = 300 mmφ = 9.98°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1000 rpm で 50 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 50 kWN = 1000 rpmdo = 80 mmdi = 60 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −30 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = −30 MPaσy = −70 MPaτxy = −60 MPa
θs = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −10 MPa、σᵧ = 90 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から時計回りに 20° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = −10 MPaσy = 90 MPaτxy = −20 MPaθ = -20°
τθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 115 kNd = 10 mmL = 1 mE = 200 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa、許容応力 250 MPa）が、黄銅 でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 100 GPa、許容応力 60 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2 で 100 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 100 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
ばね定数 8 kN/m のばねにつながれた 50 kg の質量に、減衰比 0.6 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 50 kgk = 8 kN/mζ = 0.6
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
5 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 20 kN/m、k₂ = 30 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 5 kgk1 = 20 kN/mk2 = 30 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: n2 = 221.2 rpm
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
滑りなしの回転速度
960·120/500 = 230.4 rpm
滑りあり
n2 = 230.4·0.96 = 221.2 rpm
答え
n2 = 221.2 rpm
2.歯車と歯車列
答え: P = 5.85 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
巻き付け角
θ = 2.971 rad
緩み側の張力
eμθ = e1.04 = 2.829, T₂ = 1500/2.829 = 530.2 N
電力
P = (1500 − 530.2)·6.032 = 5.85 kW
答え
P = 5.85 kW
3.軸のねじり
答え: G = 25.99 GPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメントと角度
J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 9.98·π/180 = 0.1742 rad
横弾性係数
T = 75 N·m = 75000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 75000·300/(4970·0.1742) = 25990 MPa
G = 25.99 GPa
答え
G = 25.99 GPa
比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。
4.軸のねじり
答え: τmax = 6.948 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 50000/104.7 = 477.5 N·m
断面二次極モーメント
J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2.749 × 10⁶ mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 477465·40/2.749 × 10⁶ = 6.948 MPa
答え
τmax = 6.948 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θs = −80.78 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。
cos 2θs = −60/63.25 = −0.9487, sin 2θs = −20/63.25 = −0.3162
2θs = atan2(−20, −60) = −161.6°
要素上の角度
θs = −80.78°
確認: θs − θp = −80.78 − (−35.78) = −45°
答え
θs = −80.78°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = −47.46 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −−50·−0.6428 + −20·0.766 = −47.46 MPa
答え
τθ = −47.46 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 7321 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 115·1000/78.54 = 1464 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 1464/200000 = 0.007321 = 7321 µε
答え
ε = 7321 µε
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 391.1 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·5890 = 6.519 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.00125, 0.0006) = 0.0006 (黄銅)
最大荷重
Pmax = 0.0006·6.519 × 10⁸ = 391128 N = 391.1 kN
答え
Pmax = 391.1 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 15.99 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·6000 = 6000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/6000² = 15992 N = 15.99 kN
答え
Pcr = 15.99 kN
10.柱の座屈
答え: d = 84.76 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·100000 = 200000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 84.76 mm
答え
d = 84.76 mm
確認：細長比 KL/r は 236 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: fd = 1.611 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(8000/50) = 12.65 rad/s
fn = 12.65/(2π) = 2.013 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.013·√(1 − 0.6²) = 1.611 Hz
答え
fd = 1.611 Hz
12.機械振動
答え: fn = 15.92 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 20 + 30 = 50 kN/m
固有振動数
ωn = √(50000/5) = 100 rad/s
fn = 100/(2π) = 15.92 Hz
答え
fn = 15.92 Hz
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