歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
ベルトが、直径 120 mm の駆動プーリ上を 720 rpm で走っています。張力は張り側で 800 N、緩み側で 160 N です。伝達される動力 P を kW で求めなさい。
d1 = 120 mmn1 = 720 rpmT1 = 800 NT2 = 160 N
P = kW
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列で、入力軸の歯車 A（歯数 16）が 3000 rpm で回転し、歯車 B（歯数 18）を駆動する。歯車 C（歯数 15）は B と同じ軸に固定され、出力軸の歯車 D を駆動する。出力は 2500 rpm で回転しなければならない。歯車 D の歯数 ND はいくつ必要か。
nin = 3000 rpmA = 16B = 18C = 15nout = 2500 rpm
ND =
3.軸のねじりふつう
ねじり試験で、直径 10 mm の中実試験片をトルク 75 N·m でねじる。標点距離 250 mm の両端は互いに 13.68° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。
T = 75 N·md = 10 mmL = 250 mmφ = 13.68°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
直径 40 mm の黄銅製の中実軸が A で固定されている。A から 0.5 m の B にトルク 1000 N·m が作用し、さらに 2.5 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 500 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。
d = 40 mmTB = 1000 N·mTC = 500 N·mAB = 0.5 mBC = 2.5 mG = 39 GPa
φC = °
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −50 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = −30 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = −50 MPaσy = −70 MPaτxy = −30 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −60 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = 10 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 50° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = −60 MPaσy = 10 MPaτxy = 10 MPaθ = 50°
τθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける鋼製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 110 kNd = 20 mmL = 2.5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 55 kN区間 1：Ø35 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø20 mm、2 m、鋼（E = 200 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 50 mm の 1 周期後に 26.6 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 50 mmx1 = 26.6 mmn = 1
ζ =
12.機械振動むずかしい
40 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 12 kN/m、k₂ = 100 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 40 kgk1 = 12 kN/mk2 = 100 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: P = 2.895 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの速さ
v = 4.524 m/s
電力
P = (800 − 160)·4.524 = 2895 W = 2.895 kW
答え
P = 2.895 kW
2.歯車と歯車列
答え: ND = 16
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
中間軸の回転速度
nB = nC = 3000·16/18 = 2667 rpm
歯車 D の歯数
ND = C·nC/nout = 15·2667/2500 = 16
答え
ND = 16
3.軸のねじり
答え: G = 79.99 GPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメントと角度
J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴
φ = 13.68·π/180 = 0.2388 rad
横弾性係数
T = 75 N·m = 75000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 75000·250/(981.7·0.2388) = 79990 MPa
G = 79.99 GPa
答え
G = 79.99 GPa
比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。
4.軸のねじり
答え: φC = 5.845 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 500 N·m
TAB = TC − TB = 500 − 1000 = −500 N·m
各区間のねじれ角
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = −500000·500/(39000·251327) = −0.02551 rad
φBC = 500000·2500/(39000·251327) = 0.1275 rad
端 C のねじれ角
φC = −0.02551 + 0.1275 = 0.102 rad → |φC| = 5.845°
答え
φC = 5.845°
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 45.81 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = −60 MPa, R = √(10² + (−30)²) = 31.62 MPa
σ1 = −28.38 MPa, σ2 = −91.62 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(63.25, 28.38, 91.62)/2 = 45.81 MPa
答え
τabs = 45.81 MPa
ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = 32.73 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −−35·0.9848 + 10·−0.1736 = 32.73 MPa
答え
τθ = 32.73 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 4.377 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 110·1000/314.2 = 350.1 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 350.1/200000 = 0.001751 = 1751 µε
伸び
δ = ε·L = 0.001751·2500 mm = 4.377 mm
答え
δ = 4.377 mm
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 2.037 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 57.17 MPa
σ2 = 175.1 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 57.17·1000/200000 = 0.2858 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 175.1·2000/200000 = 1.751 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.037 mm
答え
δ = 2.037 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 6.867 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·4000 = 8000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/8000² = 6867 N = 6.867 kN
答え
Pcr = 6.867 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 111 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 1·1000 = 1000 mm
KL/r = 1000/7.5 = 133.3
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133.3² = 111 MPa
答え
σcr = 111 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.09994
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/1)·ln(50/26.6) = 0.6311
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6311/√(39.48 + 0.3983) = 0.09994
答え
ζ = 0.09994
12.機械振動
答え: keq = 112 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 12 + 100 = 112 kN/m
答え
keq = 112 kN/m
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