機械設計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

歯車と歯車列

かみ合う歯車: n₁·N₁ = n₂·N₂
トルク: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
電力: P = T·ω, ω = 2π·n/60
複合歯車列: 全体の速比 = 各段の速比の積

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

機械振動

固有振動数: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
静たわみから: ω_n = √(g/δ_st)
臨界減衰: c_c = 2√(km) = 2mω_n
減衰比: ζ = c/c_c
減衰固有振動数: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
対数減衰率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
並列ばね: k = k₁ + k₂
直列ばね: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2演習問題

1.歯車と歯車列ふつう

2 本の平行軸の間隔は 187.5 mm である。これらをモジュール 3 mm、減速比 4 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。歯車の歯数 N₂ はいくつ必要か。

a = 187.5 mmm = 3 mmi = 4

N₂ =

2.歯車と歯車列むずかしい

複合歯車列において、1440 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 32）が歯車 B（歯数 36）を駆動する。歯車 C（歯数 18）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 24）を駆動する。出力回転速度 n_out を求めよ。

n_in = 1440 rpmA = 32B = 36C = 18D = 24

n_out = rpm

3.軸のねじりふつう

ねじり試験で、直径 12 mm の中実試験片をトルク 30 N·m でねじる。標点距離 200 mm の両端は互いに 6.49° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。

T = 30 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 6.49°

G = GPa

4.軸のねじりむずかしい

直径 40 mm の黄銅製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 3 m、B から 0.8 m の C にトルク 2000 N·m が作用する。軸の最大せん断応力 τ_max を求めよ。

d = 40 mmT₀ = 2000 N·ma = 3 mb = 0.8 m

τ_max = MPa

5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 50 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = 30 MPa、σ_z = 0。その点での絶対最大せん断応力 τ_abs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。

σ_x = 50 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

直径 60 mm の中実軸が曲げモーメント 300 N·mとトルク 1500 N·m を同時に受ける。曲げ応力が引張で最大となる上表面で、最大主応力 σ₁ を求めよ。

d = 60 mmM = 300 N·mT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

7.軸応力とひずみふつう

鋼の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa）が、アルミニウムでできた管（外径 100 mm、内径 60 mm、E = 70 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 300 mm で、剛な板の間で 150 kN によって一緒に圧縮されます。縮み δ を求めなさい。

P = 150 kN棒: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.軸応力とひずみむずかしい

鋼の区間（直径 25 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、黄銅でできた区間（直径 30 mm、長さ 500 mm、E = 100 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 100 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ₂ を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.機械振動ふつう

150 kg の質量が、ばね定数 25 kN/m のばねと、減衰係数 770 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。

m = 150 kgk = 25 kN/mc = 770 N·s/m

ζ =

12.機械振動むずかしい

5 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 15 kN/m、下のばねは k₂ = 5 kN/m である。ばね系の等価ばね定数 k_eq を kN/m で求めよ。

m = 5 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.歯車と歯車列

答え: N₂ = 100

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

歯数の合計

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·187.5/3 = 125

比で分ける

N₁ = 125/(1 + 4) = 25

N₂ = 4·25 = 100

答え

N₂ = 100

2.歯車と歯車列

答え: n_out = 960 rpm

歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。

第 1 段

n_B = 1440·32/36 = 1280 rpm = n_C

第 2 段

n_out = 1280·18/24 = 960 rpm

答え

n_out = 960 rpm

全体の速比 = 1.5 : 1

3.軸のねじり

答え: G = 26.02 GPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメントと角度

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 6.49·π/180 = 0.1133 rad

横弾性係数

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·200/(2036·0.1133) = 26020 MPa

G = 26.02 GPa

答え

G = 26.02 GPa

比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。

4.軸のねじり

答え: τ_max = 125.6 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。両端が固定されていると、静力学だけでは T_A + T_B = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。

つり合いと適合条件

T_A + T_B = 2000

T_A·a = T_B·b

T_A = 2000·0.8/3.8 = 421.1 N·m

T_B = 2000·3/3.8 = 1579 N·m

最大せん断応力

2 つのトルクのうち大きい方で決まります（直径が同じ場合）。

τ_max = 16·1.579 × 10⁶/(π·40³) = 125.6 MPa

答え

τ_max = 125.6 MPa

5.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_abs = 61.21 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σ_max − σ_min)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。

面内の主応力

C = 80 MPa, R = √((−30)² + 30²) = 42.43 MPa

σ₁ = 122.4 MPa, σ₂ = 37.57 MPa, σ_z = 0

3 つの円のうち最大のもの

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(84.85, 122.4, 37.57)/2 = 61.21 MPa

答え

τ_abs = 61.21 MPa

ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。

6.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ₁ = 43.14 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

表面の応力

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·60³) = 14.15 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·60³) = 35.37 MPa

モールの応力円

C = σ/2 = 7.074 MPa

R = √(7.074² + 35.37²) = 36.07 MPa

σ₁ = C + R = 43.14 MPa

σ₂ = C − R = −28.99 MPa

答え

σ₁ = 43.14 MPa

7.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.09124 mm

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、P_i = P·E_iA_i/ΣEA、σ_i = E_i·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·706.9 + 70·10³·5027 = 4.932 × 10⁸ N

縮み

δ = 150000·300/4.932 × 10⁸ = 0.09124 mm

答え

δ = 0.09124 mm

8.軸応力とひずみ

答え: σ₂ = 65.57 MPa

剛性

k₁ = 200000·490.9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 100000·706.9/500 = 141372 N/mm

区間 2 の分担

F₂ = 100000·141372/304996 = 46352 N

応力

σ₂ = 46352/706.9 = 65.57 MPa （圧縮）

答え

σ₂ = 65.57 MPa

9.柱の座屈

答え: P_cr = 20.56 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·2500 = 2500 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/2500² = 20562 N = 20.56 kN

答え

P_cr = 20.56 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 4.441 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/7.5 = 666.7

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666.7² = 4.441 MPa

答え

σ_cr = 4.441 MPa

11.機械振動

答え: ζ = 0.1988

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ω_n = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は f_n = ω_n/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/c_c で、臨界減衰係数は c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n です。不足減衰系（ζ < 1）は ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

臨界減衰

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·150) = 3873 N·s/m

減衰比

ζ = c/c_c = 770/3873 = 0.1988

答え

ζ = 0.1988

ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。

12.機械振動

答え: k_eq = 3.75 kN/m

等価ばね定数

直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/15 + 1/5 → k_eq = 15·5/(15 + 5) = 3.75 kN/m

答え

k_eq = 3.75 kN/m

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