歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1450 rpm で回転する 15 kW のモータが、歯数 20、モジュール 3 mm のピニオンを駆動する。ピニオンの歯に働く接線力 Ft を求めよ。
P = 15 kWn = 1450 rpmN1 = 20m = 3 mm
Ft = N
2.歯車と歯車列むずかしい
1440 rpm の 2.2 kW のモータが歯車 A（歯数 15）を駆動し、A は歯車 B（歯数 40）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 25）が出力軸の歯車 D（歯数 36）を駆動する。各かみ合いの効率は 97% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 2.2 kWnin = 1440 rpmA = 15B = 40C = 25D = 36ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中空軸（外径 50 mm、内径 30 mm、長さ 0.8 m）が一端で固定され、他端でトルク 1000 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 1000 N·mdo = 50 mmdi = 30 mmL = 0.8 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 50 mm の鋼製の中実軸が A で固定されている。A から 1 m の B にトルク 1500 N·m が作用し、さらに 2 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 100 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。
d = 50 mmTB = 1500 N·mTC = 100 N·mAB = 1 mBC = 2 mG = 80 GPa
φC = °
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 10 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 40°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = 10 MPaσy = 20 MPaτxy = −20 MPaθ = 40°
σy′ = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −40 MPa、σᵧ = 120 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 40° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = −40 MPaσy = 120 MPaτxy = −20 MPaθ = 40°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 75 kNd = 16 mmL = 1.5 mE = 70 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 30 mm、長さ 500 mm、E = 110 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 100 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø30 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 20 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 20 mm の 5 周期後に 10.7 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 20 mmx5 = 10.7 mmn = 5
ζ =
12.機械振動むずかしい
40 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 50 kN/m、下のばねは k₂ = 80 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 40 kgk1 = 50 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: Ft = 3293 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
ピニオンのトルク
ω = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 15000/151.8 = 98.79 N·m
ピッチ円直径
d = m·N = 3·20 = 60 mm
接線力
Ft = 2T/d = 2·98.79/0.06 = 3293 N
答え
Ft = 3293 N
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 52.71 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
出力回転数
nout = 1440·(15/40)·(25/36) = 375 rpm
ωout = 2π·375/60 = 39.27 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 2200·0.97² = 2070 W
Tout = Pout/ωout = 2070/39.27 = 52.71 N·m
答え
Tout = 52.71 N·m
3.軸のねじり
答え: φ = 3.301 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴
ねじれ角
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 0.8 m = 800 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·800/(26000·534071) = 0.05761 rad
φ = 0.05761·180/π = 3.301°
答え
φ = 3.301°
4.軸のねじり
答え: φC = 1.401 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 100 N·m
TAB = TC − TB = 100 − 1500 = −1400 N·m
各区間のねじれ角
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = −1.4 × 10⁶·1000/(80000·613592) = −0.02852 rad
φBC = 100000·2000/(80000·613592) = 0.004074 rad
端 C のねじれ角
φC = −0.02852 + 0.004074 = −0.02445 rad → |φC| = 1.401°
答え
φC = 1.401°
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = 35.56 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = 15 − (−5)·0.1736 − (−20)·0.9848 = 35.56 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = −5.564 MPa, σx′ + σy′ = 30 = σx + σy
答え
σy′ = 35.56 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 6.412 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 40 + −80·0.1736 + −20·0.9848 = 6.412 MPa
答え
σθ = 6.412 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 5329 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 75·1000/201.1 = 373 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 373/70000 = 0.005329 = 5329 µε
答え
ε = 5329 µε
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 45.57 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·490.9/300 = 327249 N/mm
k₂ = 110000·706.9/500 = 155509 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 100000·155509/482758 = 32213 N
応力
σ2 = 32213/706.9 = 45.57 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 45.57 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 19.62 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·4000 = 8000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/8000² = 19621 N = 19.62 kN
答え
Pcr = 19.62 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 35.25 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.7·1000 = 700 mm
KL/r = 700/5 = 140
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa
答え
σcr = 35.25 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.01991
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/5)·ln(20/10.7) = 0.1251
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1251/√(39.48 + 0.01565) = 0.01991
答え
ζ = 0.01991
12.機械振動
答え: fn = 4.414 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/50 + 1/80 → keq = 50·80/(50 + 80) = 30.77 kN/m
固有振動数
ωn = √(30769/40) = 27.74 rad/s
fn = 27.74/(2π) = 4.414 Hz
答え
fn = 4.414 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design