歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
960 rpm で回転する 2.2 kW のモータが、歯数 24、モジュール 2.5 mm のピニオンを駆動する。ピニオンの歯に働く接線力 Ft を求めよ。
P = 2.2 kWn = 960 rpmN1 = 24m = 2.5 mm
Ft = N
2.歯車と歯車列むずかしい
遊星歯車装置で、太陽歯車の歯数は 15、各遊星歯車の歯数は 18 である。遊星キャリヤを固定し、太陽歯車を 1800 rpm で駆動する。リングギヤの回転速度 nr（大きさ）を求めよ。
Ns = 15Np = 18ns = 1800 rpm
nr = rpm
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 100 N·md = 30 mmL = 0.8 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 3000 rpm で 50 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 50 kWN = 3000 rpmdo = 40 mmdi = 24 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 120 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = 10 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 120 MPaσy = 100 MPaτxy = 10 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 800 mm、肉厚 5 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 1 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 25° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。
D = 800 mmt = 5 mmp = 1 MPaα = 25°
σn = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 50 mm、長さ 200 mm、E = 100 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.2 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø50 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa、許容応力 200 MPa）が、アルミニウム でできた管（外径 120 mm、内径 70 mm、E = 70 GPa、許容応力 60 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 20 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
20 kg の質量が、ばね定数 10 kN/m のばねと、減衰係数 360 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 20 kgk = 10 kN/mc = 360 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
40 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 25 kN/m、下のばねは k₂ = 12 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 40 kgk1 = 25 kN/mk2 = 12 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: Ft = 729.5 N
歯車の幾何：モジュール m が歯の大きさを決めます。歯数 N の歯車のピッチ円直径は d = m·N、かみ合う 2 つの歯車のモジュールは等しく、中心距離は a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 です。ピッチ円周速度は v = π·d·n/60 で、接線方向の歯面力はトルクから Ft = 2T/d となります。
ピニオンのトルク
ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T = P/ω = 2200/100.5 = 21.88 N·m
ピッチ円直径
d = m·N = 2.5·24 = 60 mm
接線力
Ft = 2T/d = 2·21.88/0.06 = 729.5 N
答え
Ft = 729.5 N
2.歯車と歯車列
答え: nr = 529.4 rpm
遊星歯車装置：太陽歯車、リング、キャリヤの回転速度はウィリスの式 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns で結ばれます：キャリヤから見ると、遊星歯車をアイドラとする普通の歯車列です。1 つの要素を固定すると、単一の減速比をもつ減速機になります。
リングギヤの歯数
Nr = Ns + 2·Np = 15 + 2·18 = 51
キャリヤ固定時のウィリスの式
nc = 0 のとき、太陽歯車はアイドラとして働く遊星歯車を介してリングを駆動します。
nr = −ns·Ns/Nr = −1800·15/51 = −529.4 rpm
|nr| = 529.4 rpm
答え
nr = 529.4 rpm
リングは太陽歯車と逆向きに回転します。
3.軸のねじり
答え: φ = 2.217 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(26000·79522) = 0.03869 rad
φ = 0.03869·180/π = 2.217°
答え
φ = 2.217°
4.軸のねじり
答え: τmax = 14.55 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 50000/314.2 = 159.2 N·m
断面二次極モーメント
J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 159155·20/218755 = 14.55 MPa
答え
τmax = 14.55 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 14.14 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((120 − 100)/2)² + 10²) = 14.14 MPa
答え
τmax = 14.14 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σn = 72.86 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 800/2 = 400 mm
σh = pr/t = 1·400/5 = 80 MPa
σa = pr/(2t) = 40 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
σn = 40·sin²25° + 80·cos²25° = 72.86 MPa
答え
σn = 72.86 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 28.05 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1963 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490.9) = 6.112 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·1963) = 1.019 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.2/7.13 × 10⁻⁶ = 28050 N = 28.05 kN
答え
P = 28.05 kN
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 531.8 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·7461 = 6.205 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.001, 0.0008571) = 0.0008571 (アルミニウム)
最大荷重
Pmax = 0.0008571·6.205 × 10⁸ = 531827 N = 531.8 kN
答え
Pmax = 531.8 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 134.3 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·1000 = 700 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/700² = 134280 N = 134.3 kN
答え
Pcr = 134.3 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 197.4 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.5·1000 = 500 mm
KL/r = 500/5 = 100
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa
答え
σcr = 197.4 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.4025
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(10000·20) = 894.4 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 360/894.4 = 0.4025
答え
ζ = 0.4025
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 2.266 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/25 + 1/12 → keq = 25·12/(25 + 12) = 8.108 kN/m
固有振動数
ωn = √(8108/40) = 14.24 rad/s
fn = 14.24/(2π) = 2.266 Hz
答え
fn = 2.266 Hz
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