機械設計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

歯車と歯車列

かみ合う歯車: n₁·N₁ = n₂·N₂
トルク: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
電力: P = T·ω, ω = 2π·n/60
複合歯車列: 全体の速比 = 各段の速比の積

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

機械振動

固有振動数: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
静たわみから: ω_n = √(g/δ_st)
臨界減衰: c_c = 2√(km) = 2mω_n
減衰比: ζ = c/c_c
減衰固有振動数: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
対数減衰率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
並列ばね: k = k₁ + k₂
直列ばね: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2演習問題

1.歯車と歯車列ふつう

直径 100 mm のプーリが 1440 rpm で回り、滑り 4 % のベルトで直径 200 mm のプーリを駆動します。従動プーリの回転速度 n₂ を求めなさい。

n₁ = 1440 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 200 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.歯車と歯車列むずかしい

複合歯車列で、入力軸の歯車 A（歯数 60）が 3000 rpm で回転し、歯車 B（歯数 80）を駆動する。歯車 C（歯数 20）は B と同じ軸に固定され、出力軸の歯車 D を駆動する。出力は 625 rpm で回転しなければならない。歯車 D の歯数 N_D はいくつ必要か。

n_in = 3000 rpmA = 60B = 80C = 20n_out = 625 rpm

N_D =

3.軸のねじりふつう

黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 200 N·md = 40 mmL = 0.8 mG = 39 GPa

φ = °

4.軸のねじりむずかしい

中空軸が 300 rpm で 50 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τ_max を求めよ。

P = 50 kWN = 300 rpmd_o = 60 mmd_i = 42 mm

τ_max = MPa

5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 20 MPa、σᵧ = 70 MPa、τₓᵧ = 20 MPa、σ_z = 0。その点での絶対最大せん断応力 τ_abs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。

σ_x = 20 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −30 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。法線が x 軸から反時計回りに 20° 回転した面上のせん断応力 τ_θ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。

σ_x = −30 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

7.軸応力とひずみふつう

鋼製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 40 kNd = 25 mmL = 2 mE = 200 GPa

ε = µε

8.軸応力とひずみむずかしい

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。

P = 70 kN区間 1：Ø40 mm、2 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø16 mm、2 m、アルミニウム（E = 70 GPa）

δ = mm

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2 で 5 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 5 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)

d = mm

11.機械振動ふつう

減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 50 mm の 5 周期後に 2.1 mm のピークが現れた。減衰比 ζ を求めよ。

x₀ = 50 mmx₅ = 2.1 mmn = 5

ζ =

12.機械振動むずかしい

25 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 60 kN/m、下のばねは k₂ = 80 kN/m である。ばね系の等価ばね定数 k_eq を kN/m で求めよ。

m = 25 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.歯車と歯車列

答え: n₂ = 691.2 rpm

ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = e^μθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。

滑りなしの回転速度

1440·100/200 = 720 rpm

滑りあり

n₂ = 720·0.96 = 691.2 rpm

答え

n₂ = 691.2 rpm

2.歯車と歯車列

答え: N_D = 72

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

中間軸の回転速度

n_B = n_C = 3000·60/80 = 2250 rpm

歯車 D の歯数

N_D = C·n_C/n_out = 20·2250/625 = 72

答え

N_D = 72

3.軸のねじり

答え: φ = 0.9353 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(39000·251327) = 0.01632 rad

φ = 0.01632·180/π = 0.9353°

答え

φ = 0.9353°

4.軸のねじり

答え: τ_max = 49.38 MPa

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m

断面二次極モーメント

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

最大せん断応力

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1.592 × 10⁶·30/966855 = 49.38 MPa

答え

τ_max = 49.38 MPa

5.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_abs = 38.51 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σ_max − σ_min)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。

面内の主応力

C = 45 MPa, R = √((−25)² + 20²) = 32.02 MPa

σ₁ = 77.02 MPa, σ₂ = 12.98 MPa, σ_z = 0

3 つの円のうち最大のもの

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(64.03, 77.02, 12.98)/2 = 38.51 MPa

答え

τ_abs = 38.51 MPa

ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。

6.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_θ = 21.26 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

変換式

τ_θ = −−45·0.6428 + −10·0.766 = 21.26 MPa

答え

τ_θ = 21.26 MPa

7.軸応力とひずみ

答え: ε = 407.4 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 40·1000/490.9 = 81.49 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 81.49/200000 = 0.0004074 = 407.4 µε

答え

ε = 407.4 µε

8.軸応力とひずみ

答え: δ = 11.54 mm

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 55.7 MPa

σ₂ = 348.2 MPa

各区間の伸びを足す

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 55.7·2000/70000 = 1.592 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 348.2·2000/70000 = 9.947 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 11.54 mm

答え

δ = 11.54 mm

9.柱の座屈

答え: P_cr = 284.8 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2100² = 284752 N = 284.8 kN

答え

P_cr = 284.8 kN

10.柱の座屈

答え: d = 57.08 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 2·5000 = 10000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 57.08 mm

答え

d = 57.08 mm

確認：細長比 KL/r は 420.5 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.機械振動

答え: ζ = 0.1004

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ω_n = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は f_n = ω_n/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/c_c で、臨界減衰係数は c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n です。不足減衰系（ζ < 1）は ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

対数減衰率

δ = (1/5)·ln(50/2.1) = 0.634

減衰比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.634/√(39.48 + 0.402) = 0.1004

答え

ζ = 0.1004

12.機械振動

答え: k_eq = 34.29 kN/m

等価ばね定数

直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/60 + 1/80 → k_eq = 60·80/(60 + 80) = 34.29 kN/m

答え

k_eq = 34.29 kN/m

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