歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2900 rpm で回転する 7.5 kW のモータが歯数 24 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 30 の歯車とかみ合っている。 損失は無視する。 モータ軸のトルク T1 を求めよ。
P = 7.5 kWn1 = 2900 rpmN1 = 24N2 = 30η = 100%
T1 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
遊星歯車装置で、太陽歯車の歯数は 30、各遊星歯車の歯数は 20 である。リングギヤを固定し、太陽歯車を 3000 rpm で駆動する。遊星キャリヤの回転速度 nc を求めよ。
Ns = 30Np = 20ns = 3000 rpm
nc = rpm
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 200 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.7 倍とし、せん断応力は 75 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 200 N·mdi/do = 0.7τallow = 75 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
直径 30 mm の黄銅製の中実軸が A で固定されている。A から 3 m の B にトルク 500 N·m が作用し、さらに 2.5 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 400 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。
d = 30 mmTB = 500 N·mTC = 400 N·mAB = 3 mBC = 2.5 mG = 39 GPa
φC = °
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 60 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 60 MPaσy = 20 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 150 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = 20 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 50° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 150 MPaσy = 110 MPaτxy = 20 MPaθ = 50°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 60 mm、長さ 500 mm、E = 100 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.4 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa、許容応力 250 MPa）が、黄銅 でできた管（外径 120 mm、内径 50 mm、E = 100 GPa、許容応力 70 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 20 mm の 1 周期後に 7.7 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 20 mmx1 = 7.7 mmn = 1
ζ =
12.機械振動むずかしい
25 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 15 kN/m、k₂ = 30 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 25 kgk1 = 15 kN/mk2 = 30 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T1 = 24.7 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/303.7 = 24.7 N·m
答え
T1 = 24.7 N·m
2.歯車と歯車列
答え: nc = 900 rpm
遊星歯車装置：太陽歯車、リング、キャリヤの回転速度はウィリスの式 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns で結ばれます：キャリヤから見ると、遊星歯車をアイドラとする普通の歯車列です。1 つの要素を固定すると、単一の減速比をもつ減速機になります。
リングギヤの歯数
Nr = Ns + 2·Np = 30 + 2·20 = 70
リング固定時のウィリスの式
nr = 0 とおき、キャリヤの回転速度について解きます。
(3000 − nc)/(0 − nc) = −70/30
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 3000·30/100 = 900 rpm
答え
nc = 900 rpm
キャリヤは太陽歯車と同じ向きに回転します。
3.軸のねじり
答え: do = 26.15 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 200 N·m = 200000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·75·0.7599)) = 26.15 mm
di = 0.7·26.15 = 18.3 mm
答え
do = 26.15 mm
中実軸なら d = 23.86 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: φC = 12.93 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 400 N·m
TAB = TC − TB = 400 − 500 = −100 N·m
各区間のねじれ角
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = −100000·3000/(39000·79522) = −0.09673 rad
φBC = 400000·2500/(39000·79522) = 0.3224 rad
端 C のねじれ角
φC = −0.09673 + 0.3224 = 0.2257 rad → |φC| = 12.93°
答え
φC = 12.93°
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 36.06 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((60 − 20)/2)² + 30²) = 36.06 MPa
答え
τmax = 36.06 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 146.2 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 130 + 20·−0.1736 + 20·0.9848 = 146.2 MPa
答え
σθ = 146.2 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 82.92 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 2827 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490.9) = 3.056 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·2827) = 1.768 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.4/4.824 × 10⁻⁶ = 82916 N = 82.92 kN
答え
P = 82.92 kN
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 698.2 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·9346 = 9.975 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.00125, 0.0007) = 0.0007 (黄銅)
最大荷重
Pmax = 0.0007·9.975 × 10⁸ = 698219 N = 698.2 kN
答え
Pmax = 698.2 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 79.96 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1.042 × 10⁶/3000² = 79962 N = 79.96 kN
答え
Pcr = 79.96 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 35.25 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/10 = 140
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa
答え
σcr = 35.25 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.1502
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/1)·ln(20/7.7) = 0.9545
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.9545/√(39.48 + 0.9111) = 0.1502
答え
ζ = 0.1502
12.機械振動
答え: fn = 6.752 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 15 + 30 = 45 kN/m
固有振動数
ωn = √(45000/25) = 42.43 rad/s
fn = 42.43/(2π) = 6.752 Hz
答え
fn = 6.752 Hz
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