歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
直径 80 mm のプーリが 720 rpm で回り、滑り 2 % のベルトで直径 500 mm のプーリを駆動します。従動プーリの回転速度 n2 を求めなさい。
n1 = 720 rpmd1 = 80 mmd2 = 500 mms = 2 %
n2 = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
2900 rpm の 5.5 kW のモータが歯車 A（歯数 25）を駆動し、A は歯車 B（歯数 60）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 36）が出力軸の歯車 D（歯数 45）を駆動する。各かみ合いの効率は 98% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 5.5 kWnin = 2900 rpmA = 25B = 60C = 36D = 45ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 1000 N·md = 25 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 500 rpm で 15 kW を伝達し、せん断応力が 50 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 15 kWN = 500 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −30 MPa、σᵧ = 80 MPa である。最大主応力が 115 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = −30 MPaσy = 80 MPaσ1 = 115 MPa
τxy = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −10 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から時計回りに 45° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = −10 MPaσy = −20 MPaτxy = −30 MPaθ = -45°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 20 kNd = 25 mmL = 1 mE = 117 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 300 mm、E = 100 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 50 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2 で 90 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 90 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
ばね定数 150 kN/m のばねにつながれた 100 kg の質量に、減衰比 0.7 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 100 kgk = 150 kN/mζ = 0.7
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
50 kg の質量がばね k₃ = 12 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 20 kN/m と k₂ = 100 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 50 kgk1 = 20 kN/mk2 = 100 kN/mk3 = 12 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: n2 = 112.9 rpm
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
滑りなしの回転速度
720·80/500 = 115.2 rpm
滑りあり
n2 = 115.2·0.98 = 112.9 rpm
答え
n2 = 112.9 rpm
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 52.18 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
出力回転数
nout = 2900·(25/60)·(36/45) = 966.7 rpm
ωout = 2π·966.7/60 = 101.2 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 5500·0.98² = 5282 W
Tout = Pout/ωout = 5282/101.2 = 52.18 N·m
答え
Tout = 52.18 N·m
3.軸のねじり
答え: φ = 18.68 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1000/(80000·38350) = 0.3259 rad
φ = 0.3259·180/π = 18.68°
答え
φ = 18.68°
4.軸のねじり
答え: d = 30.79 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 15000/52.36 = 286.5 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·286479/(π·50)) = 30.79 mm
答え
d = 30.79 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 71.24 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (−30 + 80)/2 = 25 MPa
R = σ1 − C = 115 − 25 = 90 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(90² − 55²) = 71.24 MPa
答え
τxy = 71.24 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 15 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = −15 + 5·0 + −30·−1 = 15 MPa
答え
σθ = 15 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 348.2 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 20·1000/490.9 = 40.74 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 40.74/117000 = 0.0003482 = 348.2 µε
答え
ε = 348.2 µε
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 28.61 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·490.9/600 = 163625 N/mm
k₂ = 100000·1257/300 = 418879 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 50000·418879/582504 = 35955 N
応力
σ2 = 35955/1257 = 28.61 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 28.61 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 112.8 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/1400² = 112795 N = 112.8 kN
答え
Pcr = 112.8 kN
10.柱の座屈
答え: d = 151.8 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·90000 = 180000 N
KL = 2·5000 = 10000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 151.8 mm
答え
d = 151.8 mm
確認：細長比 KL/r は 263.5 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: fd = 4.402 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(150000/100) = 38.73 rad/s
fn = 38.73/(2π) = 6.164 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 6.164·√(1 − 0.7²) = 4.402 Hz
答え
fd = 4.402 Hz
12.機械振動
答え: fn = 2.351 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 20 + 100 = 120 kN/m
keq = 120·12/(120 + 12) = 10.91 kN/m
固有振動数
ωn = √(10909/50) = 14.77 rad/s
fn = 14.77/(2π) = 2.351 Hz
答え
fn = 2.351 Hz
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