歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
960 rpm で回転する 5.5 kW のモータが歯数 30 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 48 の歯車とかみ合っている。 損失は無視する。 モータ軸のトルク T1 を求めよ。
P = 5.5 kWn1 = 960 rpmN1 = 30N2 = 48η = 100%
T1 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
遊星歯車装置で、太陽歯車の歯数は 16、各遊星歯車の歯数は 18 である。リングギヤを固定し、太陽歯車を 1200 rpm で駆動する。遊星キャリヤの回転速度 nc を求めよ。
Ns = 16Np = 18ns = 1200 rpm
nc = rpm
3.軸のねじりふつう
鋼製の中空軸（外径 50 mm、内径 30 mm、長さ 1.2 m）が一端で固定され、他端でトルク 400 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 400 N·mdo = 50 mmdi = 30 mmL = 1.2 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 3000 rpm で 10 kW を伝達し、せん断応力が 80 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 10 kWN = 3000 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 90 MPa、σᵧ = 90 MPa、τₓᵧ = −10 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = 90 MPaσy = 90 MPaτxy = −10 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −30 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。
σx = −30 MPaσy = 10 MPaτxy = 30 MPa
σvM = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 70 kNd = 25 mmL = 0.5 mE = 200 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa、許容応力 200 MPa）が、黄銅 でできた管（外径 120 mm、内径 70 mm、E = 100 GPa、許容応力 50 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 65 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 65 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 10 mm の 1 周期後に 3.9 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 10 mmx1 = 3.9 mmn = 1
ζ =
12.機械振動むずかしい
10 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 60 kN/m、k₂ = 12 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 10 kgk1 = 60 kN/mk2 = 12 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T1 = 54.71 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/100.5 = 54.71 N·m
答え
T1 = 54.71 N·m
2.歯車と歯車列
答え: nc = 282.4 rpm
遊星歯車装置：太陽歯車、リング、キャリヤの回転速度はウィリスの式 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns で結ばれます：キャリヤから見ると、遊星歯車をアイドラとする普通の歯車列です。1 つの要素を固定すると、単一の減速比をもつ減速機になります。
リングギヤの歯数
Nr = Ns + 2·Np = 16 + 2·18 = 52
リング固定時のウィリスの式
nr = 0 とおき、キャリヤの回転速度について解きます。
(1200 − nc)/(0 − nc) = −52/16
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 1200·16/68 = 282.4 rpm
答え
nc = 282.4 rpm
キャリヤは太陽歯車と同じ向きに回転します。
3.軸のねじり
答え: φ = 0.6437 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴
ねじれ角
T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 400000·1200/(80000·534071) = 0.01123 rad
φ = 0.01123·180/π = 0.6437°
答え
φ = 0.6437°
4.軸のねじり
答え: d = 12.65 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 10000/314.2 = 31.83 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·31831/(π·80)) = 12.65 mm
答え
d = 12.65 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 50 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = 90 MPa, R = √(0² + (−10)²) = 10 MPa
σ1 = 100 MPa, σ2 = 80 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(20, 100, 80)/2 = 50 MPa
答え
τabs = 50 MPa
ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σvM = 63.25 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = −10 MPa, R = 36.06 MPa
σ1 = 26.06 MPa, σ2 = −46.06 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(26.06² − 26.06·(−46.06) + (−46.06)²) = 63.25 MPa
答え
σvM = 63.25 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 713 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 70·1000/490.9 = 142.6 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 142.6/200000 = 0.000713 = 713 µε
答え
ε = 713 µε
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 422.2 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·7461 = 8.443 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.001, 0.0005) = 0.0005 (黄銅)
最大荷重
Pmax = 0.0005·8.443 × 10⁸ = 422152 N = 422.2 kN
答え
Pmax = 422.2 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 34.88 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·3000 = 6000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/6000² = 34882 N = 34.88 kN
答え
Pcr = 34.88 kN
10.柱の座屈
答え: d = 61.89 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·65000 = 162500 N
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 61.89 mm
答え
d = 61.89 mm
確認：細長比 KL/r は 113.1 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.1482
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/1)·ln(10/3.9) = 0.9416
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.9416/√(39.48 + 0.8866) = 0.1482
答え
ζ = 0.1482
12.機械振動
答え: fn = 13.5 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 60 + 12 = 72 kN/m
固有振動数
ωn = √(72000/10) = 84.85 rad/s
fn = 84.85/(2π) = 13.5 Hz
答え
fn = 13.5 Hz
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