歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
ベルトが、直径 160 mm の駆動プーリ上を 720 rpm で走っています。張力は張り側で 600 N、緩み側で 240 N です。伝達される動力 P を kW で求めなさい。
d1 = 160 mmn1 = 720 rpmT1 = 600 NT2 = 240 N
P = kW
2.歯車と歯車列むずかしい
1450 rpm の 11 kW のモータが歯車 A（歯数 18）を駆動し、A は歯車 B（歯数 48）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 32）が出力軸の歯車 D（歯数 60）を駆動する。各かみ合いの効率は 95% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 11 kWnin = 1450 rpmA = 18B = 48C = 32D = 60ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
ねじり試験で、直径 10 mm の中実試験片をトルク 30 N·m でねじる。標点距離 400 mm の両端は互いに 8.75° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。
T = 30 N·md = 10 mmL = 400 mmφ = 8.75°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
アルミニウム製の中実軸が 300 rpm で 20 kW を伝達する。せん断応力は 75 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.75° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 20 kWN = 300 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.75°/mG = 26 GPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −80 MPa、σᵧ = 90 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 35°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = −80 MPaσy = 90 MPaτxy = −60 MPaθ = 35°
σy′ = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −30 MPa、σᵧ = 50 MPa、τₓᵧ = 20 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 355 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = −30 MPaσy = 50 MPaτxy = 20 MPaσY = 355 MPa
n =
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、銅 でできた区間（直径 60 mm、長さ 500 mm、E = 120 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.25 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 銅, Ø60 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa、許容応力 120 MPa）が、銅 でできた管（外径 120 mm、内径 50 mm、E = 120 GPa、許容応力 80 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 10 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 10 kNn = 2.5L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
ばね定数 200 kN/m のばねにつながれた 200 kg の質量に、減衰比 0.7 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 200 kgk = 200 kN/mζ = 0.7
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
50 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 30 kN/m、k₂ = 50 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 50 kgk1 = 30 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: P = 2.171 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの速さ
v = 6.032 m/s
電力
P = (600 − 240)·6.032 = 2171 W = 2.171 kW
答え
P = 2.171 kW
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 326.9 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
出力回転数
nout = 1450·(18/48)·(32/60) = 290 rpm
ωout = 2π·290/60 = 30.37 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 11000·0.95² = 9928 W
Tout = Pout/ωout = 9928/30.37 = 326.9 N·m
答え
Tout = 326.9 N·m
3.軸のねじり
答え: G = 80.04 GPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメントと角度
J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴
φ = 8.75·π/180 = 0.1527 rad
横弾性係数
T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·400/(981.7·0.1527) = 80038 MPa
G = 80.04 GPa
答え
G = 80.04 GPa
比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。
4.軸のねじり
答え: d = 66.07 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 20000/31.42 = 636.6 N·m
強度から決まる直径
T = 636.6 N·m = 636620 N·mm
dτ = ∛(16·636620/(π·75)) = 35.1 mm
剛性から決まる直径
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·636620/(π·26000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 66.07 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(35.1, 66.07) = 66.07 mm
答え
d = 66.07 mm
ここでは剛性で決まります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = 90.45 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = 5 − (−85)·0.342 − (−60)·0.9397 = 90.45 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = −80.45 MPa, σx′ + σy′ = 10 = σx + σy
答え
σy′ = 90.45 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 3.969
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 10 MPa, R = 44.72 MPa
σ1 = 54.72 MPa, σ2 = −34.72 MPa, σ3 = 0
トレスカ
σmax − σmin = 89.44 MPa
n = 355/89.44 = 3.969
答え
n = 3.969
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
7.軸応力とひずみ
答え: P = 93.73 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1.194 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·2827) = 1.474 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.25/2.667 × 10⁻⁶ = 93727 N = 93.73 kN
答え
P = 93.73 kN
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 823.7 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·9346 = 1.373 × 10⁹ N
支配するひずみ
ε = min(0.0006, 0.0006667) = 0.0006 (鋼)
最大荷重
Pmax = 0.0006·1.373 × 10⁹ = 823726 N = 823.7 kN
答え
Pmax = 823.7 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 23.55 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1500 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3000² = 23551 N = 23.55 kN
答え
Pcr = 23.55 kN
10.柱の座屈
答え: d = 41.44 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·10000 = 25000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 41.44 mm
答え
d = 41.44 mm
確認：細長比 KL/r は 193.1 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: fd = 3.594 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(200000/200) = 31.62 rad/s
fn = 31.62/(2π) = 5.033 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 5.033·√(1 − 0.7²) = 3.594 Hz
答え
fd = 3.594 Hz
12.機械振動
答え: fn = 6.366 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 30 + 50 = 80 kN/m
固有振動数
ωn = √(80000/50) = 40 rad/s
fn = 40/(2π) = 6.366 Hz
答え
fn = 6.366 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design