歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2 本の平行軸の間隔は 75 mm である。これらをモジュール 2 mm、減速比 4 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。 歯車の歯数 N2 はいくつ必要か。
a = 75 mmm = 2 mmi = 4
N2 =
2.歯車と歯車列むずかしい
1440 rpm の 1.1 kW のモータが歯車 A（歯数 16）を駆動し、A は歯車 B（歯数 36）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 25）が出力軸の歯車 D（歯数 36）を駆動する。各かみ合いの効率は 97% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 1.1 kWnin = 1440 rpmA = 16B = 36C = 25D = 36ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 400 N·md = 30 mmL = 1.2 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 60 mm の黄銅製の中実軸が A で固定されている。A から 1 m の B にトルク 1000 N·m が作用し、さらに 0.8 m 先の自由端 C に同じ向きのトルク 1000 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。
d = 60 mmTB = 1000 N·mTC = 1000 N·mAB = 1 mBC = 0.8 mG = 39 GPa
φC = °
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 30 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 30 MPaσy = −30 MPaτxy = −60 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 40 mm の中実軸が曲げモーメント 1500 N·mとトルク 250 N·m を同時に受ける。 曲げ応力が引張で最大となる上表面で、 面内最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 40 mmM = 1500 N·mT = 250 N·m
τmax = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける鋼製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 85 kNd = 10 mmL = 2.5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 50 kN区間 1：Ø30 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø16 mm、0.5 m、銅（E = 117 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 25 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
200 kg の質量が、ばね定数 40 kN/m のばねと、減衰係数 1700 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 200 kgk = 40 kN/mc = 1700 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
10 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 80 kN/m、k₂ = 25 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 10 kgk1 = 80 kN/mk2 = 25 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: N2 = 60
歯車の幾何：モジュール m が歯の大きさを決めます。歯数 N の歯車のピッチ円直径は d = m·N、かみ合う 2 つの歯車のモジュールは等しく、中心距離は a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 です。ピッチ円周速度は v = π·d·n/60 で、接線方向の歯面力はトルクから Ft = 2T/d となります。
歯数の合計
N1 + N2 = 2a/m = 2·75/2 = 75
比で分ける
N1 = 75/(1 + 4) = 15
N2 = 4·15 = 60
答え
N2 = 60
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 22.24 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
出力回転数
nout = 1440·(16/36)·(25/36) = 444.4 rpm
ωout = 2π·444.4/60 = 46.54 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 1100·0.97² = 1035 W
Tout = Pout/ωout = 1035/46.54 = 22.24 N·m
答え
Tout = 22.24 N·m
3.軸のねじり
答え: φ = 4.323 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(80000·79522) = 0.07545 rad
φ = 0.07545·180/π = 4.323°
答え
φ = 4.323°
4.軸のねじり
答え: φC = 3.233 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 1000 N·m
TAB = TC + TB = 1000 + 1000 = 2000 N·m
各区間のねじれ角
J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 2 × 10⁶·1000/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.04031 rad
φBC = 1 × 10⁶·800/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.01612 rad
端 C のねじれ角
φC = 0.04031 + 0.01612 = 0.05643 rad → |φC| = 3.233°
答え
φC = 3.233°
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = −31.72 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·−60, 30 − −30) = −63.43°
要素上の角度
θp = −31.72°
答え
θp = −31.72°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 121 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = 32M/(πd³) = 32·1500000/(π·40³) = 238.7 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·40³) = 19.89 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 119.4 MPa
R = √(119.4² + 19.89²) = 121 MPa
答え
τmax = 121 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 13.53 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 85·1000/78.54 = 1082 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 1082/200000 = 0.005411 = 5411 µε
伸び
δ = ε·L = 0.005411·2500 mm = 13.53 mm
答え
δ = 13.53 mm
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 1.416 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 70.74 MPa
σ2 = 248.7 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 70.74·1000/200000 = 0.3537 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 248.7·500/117000 = 1.063 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.416 mm
答え
δ = 1.416 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 8.773 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·3000 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/3000² = 8773 N = 8.773 kN
答え
Pcr = 8.773 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 8.812 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/6.25 = 280
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8.812 MPa
答え
σcr = 8.812 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.3005
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(40000·200) = 5657 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 1700/5657 = 0.3005
答え
ζ = 0.3005
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: keq = 105 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 80 + 25 = 105 kN/m
答え
keq = 105 kN/m
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