歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
条数 3 のウォームが 1440 rpm で回転し、歯数 72 のウォームホイールを駆動する。ホイールの回転速度 nw を求めよ。
z = 3Nw = 72n = 1440 rpm
nw = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
2900 rpm の 1.1 kW のモータが歯車 A（歯数 30）を駆動し、A は歯車 B（歯数 36）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 30）が出力軸の歯車 D（歯数 45）を駆動する。各かみ合いの効率は 97% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 1.1 kWnin = 2900 rpmA = 30B = 36C = 30D = 45ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 200 N·md = 40 mmL = 0.8 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1450 rpm で 15 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 15 kWN = 1450 rpmdo = 40 mmdi = 20 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 50 MPa、σᵧ = 90 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。要素を時計回りに 30°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = 50 MPaσy = 90 MPaτxy = 60 MPaθ = -30°
σy′ = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 90 MPa、σᵧ = −80 MPa、τₓᵧ = −10 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。
σx = 90 MPaσy = −80 MPaτxy = −10 MPa
σvM = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa）が、黄銅 でできた管（外径 100 mm、内径 60 mm、E = 100 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 800 mm で、剛な板の間で 80 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 80 kN棒: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 800 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 55 kN区間 1：Ø30 mm、0.5 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø20 mm、2 m、黄銅（E = 100 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
100 kg の質量が、ばね定数 40 kN/m のばねと、減衰係数 1000 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 100 kgk = 40 kN/mc = 1000 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
40 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 60 kN/m、k₂ = 80 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 40 kgk1 = 60 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: nw = 60 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
ホイールの回転速度
nw = n·z/Nw = 1440·3/72 = 60 rpm
答え
nw = 60 rpm
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 6.135 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
出力回転数
nout = 2900·(30/36)·(30/45) = 1611 rpm
ωout = 2π·1611/60 = 168.7 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 1100·0.97² = 1035 W
Tout = Pout/ωout = 1035/168.7 = 6.135 N·m
答え
Tout = 6.135 N·m
3.軸のねじり
答え: φ = 0.9353 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(39000·251327) = 0.01632 rad
φ = 0.01632·180/π = 0.9353°
答え
φ = 0.9353°
4.軸のねじり
答え: τmax = 8.385 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 15000/151.8 = 98.79 N·m
断面二次極モーメント
J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 98786·20/235619 = 8.385 MPa
答え
τmax = 8.385 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = 132 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = 70 − (−20)·0.5 − 60·(−0.866) = 132 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = 8.038 MPa, σx′ + σy′ = 140 = σx + σy
答え
σy′ = 132 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σvM = 148.3 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 5 MPa, R = 85.59 MPa
σ1 = 90.59 MPa, σ2 = −80.59 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(90.59² − 90.59·(−80.59) + (−80.59)²) = 148.3 MPa
答え
σvM = 148.3 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.09937 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·5027 = 6.44 × 10⁸ N
縮み
δ = 80000·800/6.44 × 10⁸ = 0.09937 mm
答え
δ = 0.09937 mm
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 3.834 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 77.81 MPa
σ2 = 175.1 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 77.81·500/117000 = 0.3325 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 175.1·2000/100000 = 3.501 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.834 mm
答え
δ = 3.834 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 5.622 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·4000 = 4000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/4000² = 5622 N = 5.622 kN
答え
Pcr = 5.622 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 1.687 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 2·4000 = 8000 mm
KL/r = 8000/12.5 = 640
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/640² = 1.687 MPa
答え
σcr = 1.687 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.25
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(40000·100) = 4000 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 1000/4000 = 0.25
答え
ζ = 0.25
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 9.416 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 60 + 80 = 140 kN/m
固有振動数
ωn = √(140000/40) = 59.16 rad/s
fn = 59.16/(2π) = 9.416 Hz
答え
fn = 9.416 Hz
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