歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
直径 200 mm のプーリが 960 rpm で回り、滑り 2 % のベルトで直径 500 mm のプーリを駆動します。従動プーリの回転速度 n2 を求めなさい。
n1 = 960 rpmd1 = 200 mmd2 = 500 mms = 2 %
n2 = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、100 rpm の直径 1450 mm の駆動プーリと直径 400 mm のプーリをつなぎ、中心は 800 mm 離れています。摩擦係数は 0.3 で、張り側の張力は 1000 N を超えてはなりません。ベルトが滑らずに伝達できる最大動力 P を kW で求めなさい（遠心力の影響は無視します）。
d1 = 100 mmn1 = 1450 rpmd2 = 400 mmC = 800 mmμ = 0.3T1 = 1000 N
P = kW
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 100 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.8 倍とし、せん断応力は 75 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 100 N·mdi/do = 0.8τallow = 75 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
直径 60 mm の黄銅製の中実軸が A で固定されている。A から 1.5 m の B にトルク 250 N·m が作用し、さらに 2 m 先の自由端 C に同じ向きのトルク 100 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。
d = 60 mmTB = 250 N·mTC = 100 N·mAB = 1.5 mBC = 2 mG = 39 GPa
φC = °
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −50 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = −50 MPaσy = 60 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 0 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。
σx = 0 MPaσy = 10 MPaτxy = 30 MPa
σvM = MPa
7.軸応力とひずみふつう
黄銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 15 kNd = 16 mmL = 2 mE = 100 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa、許容応力 200 MPa）が、黄銅 でできた管（外径 120 mm、内径 70 mm、E = 100 GPa、許容応力 50 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 12 mm の 2 周期後に 1.8 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 12 mmx2 = 1.8 mmn = 2
ζ =
12.機械振動むずかしい
10 kg の質量がばね k₃ = 15 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 80 kN/m と k₂ = 20 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 10 kgk1 = 80 kN/mk2 = 20 kN/mk3 = 15 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: n2 = 376.3 rpm
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
滑りなしの回転速度
960·200/500 = 384 rpm
滑りあり
n2 = 384·0.98 = 376.3 rpm
答え
n2 = 376.3 rpm
2.歯車と歯車列
答え: P = 4.279 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
巻き付け角
θ = 2.764 rad
緩み側の張力
eμθ = e0.8293 = 2.292, T₂ = 1000/2.292 = 436.4 N
電力
P = (1000 − 436.4)·7.592 = 4.279 kW
答え
P = 4.279 kW
3.軸のねじり
答え: do = 22.57 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 100 N·m = 100000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·75·0.5904)) = 22.57 mm
di = 0.8·22.57 = 18.06 mm
答え
do = 22.57 mm
中実軸なら d = 18.94 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: φC = 0.8371 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 100 N·m
TAB = TC + TB = 100 + 250 = 350 N·m
各区間のねじれ角
J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 350000·1500/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.01058 rad
φBC = 100000·2000/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.004031 rad
端 C のねじれ角
φC = 0.01058 + 0.004031 = 0.01461 rad → |φC| = 0.8371°
答え
φC = 0.8371°
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 75.69 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·30, −50 − 60) = 151.4°
要素上の角度
θp = 75.69°
答え
θp = 75.69°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σvM = 52.92 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 5 MPa, R = 30.41 MPa
σ1 = 35.41 MPa, σ2 = −25.41 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(35.41² − 35.41·(−25.41) + (−25.41)²) = 52.92 MPa
答え
σvM = 52.92 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 746 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 15·1000/201.1 = 74.6 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 74.6/100000 = 0.000746 = 746 µε
答え
ε = 746 µε
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 498.7 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·7461 = 9.975 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.001, 0.0005) = 0.0005 (黄銅)
最大荷重
Pmax = 0.0005·9.975 × 10⁸ = 498728 N = 498.7 kN
答え
Pmax = 498.7 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 3.525 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/4200² = 3525 N = 3.525 kN
答え
Pcr = 3.525 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 38.86 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/15 = 133.3
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133.3² = 38.86 MPa
答え
σcr = 38.86 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.1493
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/2)·ln(12/1.8) = 0.9486
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.9486/√(39.48 + 0.8998) = 0.1493
答え
ζ = 0.1493
12.機械振動
答え: fn = 5.748 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 80 + 20 = 100 kN/m
keq = 100·15/(100 + 15) = 13.04 kN/m
固有振動数
ωn = √(13043/10) = 36.12 rad/s
fn = 36.12/(2π) = 5.748 Hz
答え
fn = 5.748 Hz
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