歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
直径 150 mm のプーリが 1440 rpm で回り、滑り 2.5 % のベルトで直径 200 mm のプーリを駆動します。従動プーリの回転速度 n2 を求めなさい。
n1 = 1440 rpmd1 = 150 mmd2 = 200 mms = 2.5 %
n2 = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、150 rpm の直径 1440 mm の駆動プーリと直径 250 mm のプーリをつなぎ、中心は 1200 mm 離れています。摩擦係数は 0.25 で、張り側の張力は 800 N を超えてはなりません。ベルトが滑らずに伝達できる最大動力 P を kW で求めなさい（遠心力の影響は無視します）。
d1 = 150 mmn1 = 1440 rpmd2 = 250 mmC = 1200 mmμ = 0.25T1 = 800 N
P = kW
3.軸のねじりふつう
長さ 1.5 m のアルミニウム製の中実軸がトルク 1000 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 1° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
T = 1000 N·mL = 1.5 mG = 26 GPaφallow = 1°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1500 rpm で 75 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 75 kWN = 1500 rpmdo = 75 mmdi = 56 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −60 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = −60 MPaσy = 60 MPaτxy = 50 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 60 mm の中実軸が曲げモーメント 300 N·mとトルク 750 N·m を同時に受ける。 曲げ応力が引張で最大となる上表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。
d = 60 mmM = 300 N·mT = 750 N·m
σ1 = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 40 mm、長さ 300 mm、E = 70 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.2 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 45 kN区間 1：Ø35 mm、1 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø20 mm、1 m、黄銅（E = 100 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 25 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2.5 で 5 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 5 kNn = 2.5L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 40 mm の 3 周期後に 4.1 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 40 mmx3 = 4.1 mmn = 3
ζ =
12.機械振動むずかしい
5 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 50 kN/m、k₂ = 25 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 5 kgk1 = 50 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: n2 = 1053 rpm
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
滑りなしの回転速度
1440·150/200 = 1080 rpm
滑りあり
n2 = 1080·0.975 = 1053 rpm
答え
n2 = 1053 rpm
2.歯車と歯車列
答え: P = 4.836 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
巻き付け角
θ = 3.058 rad
緩み側の張力
eμθ = e0.7646 = 2.148, T₂ = 800/2.148 = 372.4 N
電力
P = (800 − 372.4)·11.31 = 4.836 kW
答え
P = 4.836 kW
3.軸のねじり
答え: d = 76.17 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
必要な断面二次極モーメント
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1·π/180 = 0.01745 rad
J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·1500/(26000·0.01745) = 3.306 × 10⁶ mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 76.17 mm
答え
d = 76.17 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
4.軸のねじり
答え: τmax = 8.364 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 75000/157.1 = 477.5 N·m
断面二次極モーメント
J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2.141 × 10⁶ mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 477465·37.5/2.141 × 10⁶ = 8.364 MPa
答え
τmax = 8.364 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 70.1 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·50, −60 − 60) = 140.2°
要素上の角度
θp = 70.1°
答え
θp = 70.1°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σ1 = 26.12 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·60³) = 14.15 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·60³) = 17.68 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 7.074 MPa
R = √(7.074² + 17.68²) = 19.05 MPa
σ1 = C + R = 26.12 MPa
σ2 = C − R = −11.97 MPa
答え
σ1 = 26.12 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 28.79 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1257 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706.9) = 3.537 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·1257) = 3.41 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.2/6.947 × 10⁻⁶ = 28788 N = 28.79 kN
答え
P = 28.79 kN
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 1.832 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 46.77 MPa
σ2 = 143.2 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 46.77·1000/117000 = 0.3998 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 143.2·1000/100000 = 1.432 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.832 mm
答え
δ = 1.832 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 27.04 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·1000 = 700 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/700² = 27035 N = 27.04 kN
答え
Pcr = 27.04 kN
10.柱の座屈
答え: d = 30.18 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·5000 = 12500 N
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 30.18 mm
答え
d = 30.18 mm
確認：細長比 KL/r は 198.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.12
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/3)·ln(40/4.1) = 0.7593
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7593/√(39.48 + 0.5765) = 0.12
答え
ζ = 0.12
12.機械振動
答え: fn = 19.49 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 50 + 25 = 75 kN/m
固有振動数
ωn = √(75000/5) = 122.5 rad/s
fn = 122.5/(2π) = 19.49 Hz
答え
fn = 19.49 Hz
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