歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2 本の平行軸の間隔は 187.5 mm である。これらをモジュール 5 mm、減速比 1.5 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。 歯車の歯数 N2 はいくつ必要か。
a = 187.5 mmm = 5 mmi = 1.5
N2 =
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列で、入力軸の歯車 A（歯数 24）が 1500 rpm で回転し、歯車 B（歯数 60）を駆動する。歯車 C（歯数 20）は B と同じ軸に固定され、出力軸の歯車 D を駆動する。出力は 240 rpm で回転しなければならない。歯車 D の歯数 ND はいくつ必要か。
nin = 1500 rpmA = 24B = 60C = 20nout = 240 rpm
ND =
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 400 N·md = 30 mmL = 0.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 60 mm のアルミニウム製の中実軸が A で固定されている。A から 3 m の B にトルク 1000 N·m が作用し、さらに 2.5 m 先の自由端 C に同じ向きのトルク 250 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。
d = 60 mmTB = 1000 N·mTC = 250 N·mAB = 3 mBC = 2.5 mG = 26 GPa
φC = °
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 160 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = −40 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = 160 MPaσy = 110 MPaτxy = −40 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 40 mm の中実軸が軸引張力 50 kNとトルク 1500 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 面内最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 40 mmF = 50 kNT = 1500 N·m
τmax = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、銅 でできた区間（直径 50 mm、長さ 500 mm、E = 120 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.25 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: 銅, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 95 kN区間 1：Ø40 mm、1 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø16 mm、1.5 m、黄銅（E = 100 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 105 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 105 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
20 kg の質量が、ばね定数 100 kN/m のばねと、減衰係数 140 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 20 kgk = 100 kN/mc = 140 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
5 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 12 kN/m、k₂ = 10 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 5 kgk1 = 12 kN/mk2 = 10 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: N2 = 45
歯車の幾何：モジュール m が歯の大きさを決めます。歯数 N の歯車のピッチ円直径は d = m·N、かみ合う 2 つの歯車のモジュールは等しく、中心距離は a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 です。ピッチ円周速度は v = π·d·n/60 で、接線方向の歯面力はトルクから Ft = 2T/d となります。
歯数の合計
N1 + N2 = 2a/m = 2·187.5/5 = 75
比で分ける
N1 = 75/(1 + 1.5) = 30
N2 = 1.5·30 = 45
答え
N2 = 45
2.歯車と歯車列
答え: ND = 50
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
中間軸の回転速度
nB = nC = 1500·24/60 = 600 rpm
歯車 D の歯数
ND = C·nC/nout = 20·600/240 = 50
答え
ND = 50
3.軸のねじり
答え: φ = 5.542 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 400·1000·500/(26000·79522) = 0.09673 rad
φ = 0.09673·180/π = 5.542°
答え
φ = 5.542°
4.軸のねじり
答え: φC = 7.577 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC + TB = 250 + 1000 = 1250 N·m
各区間のねじれ角
J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 1.25 × 10⁶·3000/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.1134 rad
φBC = 250000·2500/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.01889 rad
端 C のねじれ角
φC = 0.1134 + 0.01889 = 0.1323 rad → |φC| = 7.577°
答え
φC = 7.577°
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 91.08 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = 135 MPa, R = √(25² + (−40)²) = 47.17 MPa
σ1 = 182.2 MPa, σ2 = 87.83 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(94.34, 182.2, 87.83)/2 = 91.08 MPa
答え
τabs = 91.08 MPa
ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 121 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = 50000/(π·40²/4) = 50000/1257 = 39.79 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·40³) = 119.4 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 19.89 MPa
R = √(19.89² + 119.4²) = 121 MPa
答え
τmax = 121 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 60.81 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1963) = 2.122 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.25/4.112 × 10⁻⁶ = 60805 N = 60.81 kN
答え
P = 60.81 kN
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 7.843 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 75.6 MPa
σ2 = 472.5 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 75.6·1000/100000 = 0.756 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 472.5·1500/100000 = 7.087 mm
δ = δ1 + δ2 = 7.843 mm
答え
δ = 7.843 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 3.139 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·2500 = 5000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3.139 kN
答え
Pcr = 3.139 kN
10.柱の座屈
答え: d = 86.4 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·105000 = 210000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 86.4 mm
答え
d = 86.4 mm
確認：細長比 KL/r は 138.9 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.0495
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(100000·20) = 2828 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 140/2828 = 0.0495
答え
ζ = 0.0495
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: keq = 22 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 12 + 10 = 22 kN/m
答え
keq = 22 kN/m
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