歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
直径 120 mm のプーリが 720 rpm で回り、滑り 1 % のベルトで直径 250 mm のプーリを駆動します。従動プーリの回転速度 n2 を求めなさい。
n1 = 720 rpmd1 = 120 mmd2 = 250 mms = 1 %
n2 = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列で、入力軸の歯車 A（歯数 48）が 2880 rpm で回転し、歯車 B（歯数 80）を駆動する。歯車 C（歯数 15）は B と同じ軸に固定され、出力軸の歯車 D を駆動する。出力は 810 rpm で回転しなければならない。歯車 D の歯数 ND はいくつ必要か。
nin = 2880 rpmA = 48B = 80C = 15nout = 810 rpm
ND =
3.軸のねじりふつう
長さ 0.5 m の黄銅製の中実軸がトルク 750 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 1.5° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
T = 750 N·mL = 0.5 mG = 39 GPaφallow = 1.5°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 750 rpm で 10 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.6 倍とし、せん断応力は 60 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 10 kWN = 750 rpmdi/do = 0.6τallow = 60 MPa
do = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 60 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = −10 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = 60 MPaσy = 60 MPaτxy = −10 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 30 mm の中実軸が曲げモーメント 1000 N·mとトルク 250 N·m を同時に受ける。 曲げ応力が引張で最大となる上表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。
d = 30 mmM = 1000 N·mT = 250 N·m
σ1 = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける黄銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 105 kNd = 16 mmL = 3 mE = 100 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 105 kN区間 1：Ø40 mm、1 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø16 mm、1 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 40 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 40 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
ばね定数 12 kN/m のばねにつながれた 50 kg の質量に、減衰比 0.5 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 50 kgk = 12 kN/mζ = 0.5
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
10 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 20 kN/m、k₂ = 50 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 10 kgk1 = 20 kN/mk2 = 50 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: n2 = 342.1 rpm
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
滑りなしの回転速度
720·120/250 = 345.6 rpm
滑りあり
n2 = 345.6·0.99 = 342.1 rpm
答え
n2 = 342.1 rpm
2.歯車と歯車列
答え: ND = 32
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
中間軸の回転速度
nB = nC = 2880·48/80 = 1728 rpm
歯車 D の歯数
ND = C·nC/nout = 15·1728/810 = 32
答え
ND = 32
3.軸のねじり
答え: d = 43.98 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
必要な断面二次極モーメント
T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 0.5 m = 500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad
J = TL/(Gφ) = 750000·500/(39000·0.02618) = 367281 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 43.98 mm
答え
d = 43.98 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
4.軸のねじり
答え: do = 23.16 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 10000/78.54 = 127.3 N·m
許容応力からの外径
T = 127.3 N·m = 127324 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·127324/(π·60·0.8704)) = 23.16 mm
di = 0.6·23.16 = 13.89 mm
答え
do = 23.16 mm
中実軸なら d = 22.11 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 35 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = 60 MPa, R = √(0² + (−10)²) = 10 MPa
σ1 = 70 MPa, σ2 = 50 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(20, 70, 50)/2 = 35 MPa
答え
τabs = 35 MPa
ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σ1 = 383.1 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·30³) = 377.3 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·30³) = 47.16 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 188.6 MPa
R = √(188.6² + 47.16²) = 194.4 MPa
σ1 = C + R = 383.1 MPa
σ2 = C − R = −5.805 MPa
答え
σ1 = 383.1 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 15.67 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 105·1000/201.1 = 522.2 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 522.2/100000 = 0.005222 = 5222 µε
伸び
δ = ε·L = 0.005222·3000 mm = 15.67 mm
答え
δ = 15.67 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 522.2 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 83.56 MPa
σ2 = 522.2 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 522.2 MPa
答え
σmax = 522.2 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 14.62 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·3000 = 6000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/6000² = 14622 N = 14.62 kN
答え
Pcr = 14.62 kN
10.柱の座屈
答え: d = 68.37 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·40000 = 120000 N
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 68.37 mm
答え
d = 68.37 mm
確認：細長比 KL/r は 245.7 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: fd = 2.135 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(12000/50) = 15.49 rad/s
fn = 15.49/(2π) = 2.466 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.466·√(1 − 0.5²) = 2.135 Hz
答え
fd = 2.135 Hz
12.機械振動
答え: keq = 70 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 20 + 50 = 70 kN/m
答え
keq = 70 kN/m
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