歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
ベルトが、直径 80 mm の駆動プーリ上を 1450 rpm で走っています。張力は張り側で 800 N、緩み側で 160 N です。伝達される動力 P を kW で求めなさい。
d1 = 80 mmn1 = 1450 rpmT1 = 800 NT2 = 160 N
P = kW
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、125 rpm の直径 1450 mm の駆動プーリと直径 200 mm のプーリをつなぎ、中心は 800 mm 離れています。摩擦係数は 0.3 で、張り側の張力は 800 N を超えてはなりません。ベルトが滑らずに伝達できる最大動力 P を kW で求めなさい（遠心力の影響は無視します）。
d1 = 125 mmn1 = 1450 rpmd2 = 200 mmC = 800 mmμ = 0.3T1 = 800 N
P = kW
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中空軸（外径 30 mm、内径 15 mm、長さ 1 m）が一端で固定され、他端でトルク 750 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 750 N·mdo = 30 mmdi = 15 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 3000 rpm で 100 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 100 kWN = 3000 rpmdo = 60 mmdi = 36 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 40 MPa、σᵧ = 70 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 40 MPaσy = 70 MPaτxy = −30 MPa
θs = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 40 mm の中実軸が軸引張力 40 kNとトルク 500 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。
d = 40 mmF = 40 kNT = 500 N·m
σ1 = MPa
7.軸応力とひずみふつう
アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 40 kNd = 30 mmL = 2 mE = 70 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 100 kN区間 1：Ø35 mm、1.5 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø16 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 45 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 45 kNn = 3L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 25 mm の 1 周期後に 19.4 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 25 mmx1 = 19.4 mmn = 1
ζ =
12.機械振動むずかしい
10 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 100 kN/m、下のばねは k₂ = 5 kN/m である。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 10 kgk1 = 100 kN/mk2 = 5 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: P = 3.887 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの速さ
v = 6.074 m/s
電力
P = (800 − 160)·6.074 = 3887 W = 3.887 kW
答え
P = 3.887 kW
2.歯車と歯車列
答え: P = 4.549 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
巻き付け角
θ = 3.048 rad
緩み側の張力
eμθ = e0.9143 = 2.495, T₂ = 800/2.495 = 320.6 N
電力
P = (800 − 320.6)·9.49 = 4.549 kW
答え
P = 4.549 kW
3.軸のねじり
答え: φ = 22.17 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π(30⁴ − 15⁴)/32 = 74551 mm⁴
ねじれ角
T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 750000·1000/(26000·74551) = 0.3869 rad
φ = 0.3869·180/π = 22.17°
答え
φ = 22.17°
4.軸のねじり
答え: τmax = 8.623 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 100000/314.2 = 318.3 N·m
断面二次極モーメント
J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1.107 × 10⁶ mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 318310·30/1.107 × 10⁶ = 8.623 MPa
答え
τmax = 8.623 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θs = 76.72 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。
cos 2θs = −30/33.54 = −0.8944, sin 2θs = −(−15)/33.54 = 0.4472
2θs = atan2(15, −30) = 153.4°
要素上の角度
θs = 76.72°
確認: θs − θp = 76.72 − (−58.28) = 135°
答え
θs = 76.72°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σ1 = 58.77 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = 40000/(π·40²/4) = 40000/1257 = 31.83 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·40³) = 39.79 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 15.92 MPa
R = √(15.92² + 39.79²) = 42.85 MPa
σ1 = C + R = 58.77 MPa
σ2 = C − R = −26.94 MPa
答え
σ1 = 58.77 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 808.4 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 40·1000/706.9 = 56.59 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 56.59/70000 = 0.0008084 = 808.4 µε
答え
ε = 808.4 µε
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 497.4 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 103.9 MPa
σ2 = 497.4 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 497.4 MPa
答え
σmax = 497.4 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 117.9 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/1250² = 117909 N = 117.9 kN
答え
Pcr = 117.9 kN
10.柱の座屈
答え: d = 59.09 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·45000 = 135000 N
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 59.09 mm
答え
d = 59.09 mm
確認：細長比 KL/r は 118.5 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.04033
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/1)·ln(25/19.4) = 0.2536
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2536/√(39.48 + 0.06431) = 0.04033
答え
ζ = 0.04033
12.機械振動
答え: keq = 4.762 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/100 + 1/5 → keq = 100·5/(100 + 5) = 4.762 kN/m
答え
keq = 4.762 kN/m
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